【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的零点与方程根的关系2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， & x ⩾ 0 ， \\ - x ， & x < 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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2. 已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）

A、a＜0 B、a＞0 C、b＜0 D、b＞0

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3. 若函数 $f (x) = ln (e^{x - 1} + e^{1 - x}) - 2$ 与 $g (x) = sin \frac{π x}{2}$ 图像的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{m} x_{i} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 如图，函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{x}$ 的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ 有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $a > 6$ B、 $x_{1} + x_{3} > 0$ C、 $x_{2} + x_{3} > 4$ D、 ${(x_{2} - x_{1})}^{2} \geq 24 \sqrt[3]{2}$

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5. 记 $m a x {p ， q} = {\begin{array}{l} p ， p \geq q \\ q ， q > p \end{array}$ ，设函数 $f (x) = m a x {e^{x - 2} - 1 ， - x^{2} + m x - \frac{1}{2}}$ ，若函数 $f (x)$ 恰有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围的是（）

A、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ B、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) ∪ (\sqrt{2} ， \frac{9}{4})$ C、 $(- \infty ， - \frac{9}{4}) ∪ (\sqrt{2} ， \frac{9}{4})$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) ∪ (\sqrt{2} ， + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = 3 [f (x)]^{2} - m f (x) - 2 m^{2} (m \in R)$ 恰有5个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5}$ ， $f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $2 f (x_{1}) + f (x_{3}) + f (2 - x_{3})$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{2 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(- \frac{2}{3 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \frac{3}{2 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{2 e}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3 e} ， 0) ∪ (0 ， \frac{2 e}{3})$

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7. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ， $x \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、存在 $a \in R$ ，使得函数 $y = \frac{f (x)}{a^{x}}$ 为奇函数 C、任意 $x \in R$ ， $f (x) > - 1$ D、函数 $g (x) = f (x) + x$ 有且仅有2个零点

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上恰有3个实根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{4}{3})$ B、 $(1 ， \frac{4}{3}]$ C、 $(\frac{5}{6} ， 1]$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{3}{2}]$

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9. 把函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若函数 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上至少有3个交点，则正数 $ω$ 的取值范围是（）．

A、 $(\frac{11}{6} ， \frac{5}{2}]$ B、 $(\frac{5}{2} ， \frac{23}{6}]$ C、 $(\frac{11}{6} ， + \infty)$ D、 $(\frac{5}{2} ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，已知 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上恰有5个零点，则的取值范围是（）

A、 $[2 ， \frac{8}{3})$ B、 $(2 ， \frac{7}{3}]$ C、 $(2 ， \frac{8}{3}]$ D、 $[2 ， \frac{7}{3})$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a e^{x}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 10 ， 10]$ 上的奇函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数至少为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的图象如图所示，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 等于（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

14. 设 $f (x) ， g (x)$ 是定义在R上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数.当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = {\begin{cases} k (x + 2) ， 0 < x \leq 1 \\ - \frac{1}{2} ， 1 < x \leq 2 \end{cases}$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

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15. 设 $a ， b ， c \in R ， a \neq 0$ ，若函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 有且仅有一个零点，且 $2 a^{2} + 3 a b + 8 a c = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为， $a + b + a b$ 的最小值为．

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16. 函数 $f (x) = l n | x | - | x - 1 |$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的值为．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{5})}^{x} ， x \leq 0 \\ x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 ， x > 0 \end{array}$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减；
② $1$ 和3是函数 $f (x)$ 的极值点；
③当 $x \in [a ， 3]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $[1 ， 5]$ ，则 $- 1 \leq a \leq 1$ ；
④函数 $g (x) = [f (x)]^{2} - (a + 1) f (x) + a$ 的零点至少有2个，至多有6个．
其中，所有正确结论的序号是．

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18. 若过点 $(a ， 0) ， (0 ， b)$ 分别只可以作曲线 $y = \frac{e^{x}}{x}$ 的一条切线，则 $a + b$ 的取值范围为．

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19. 已知函数 $f (x) = | 2^{x} - a | - k x - 3$ ，给出下列四个结论：
①若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 至少有一个零点；
②存在实数 $a$ ， $k$ ，使得函数 $f (x)$ 无零点；
③若 $a > 0$ ，则不存在实数 $k$ ，使得函数 $f (x)$ 有三个零点；
④对任意实数 $a$ ，总存在实数 $k$ 使得函数 $f (x)$ 有两个零点.
其中所有正确结论的序号是.

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20. 若指数函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）与三次函数 $y = x^{3}$ 的图象恰好有两个不同的交点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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21. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ，且当 $x \in (- 2 ， 2]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} (| x + \frac{1}{x} | - | x - \frac{1}{x} |) ， 0 < x \leq 2 \\ - \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + 1 ， - 2 < x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | l o g_{a} x |$ ， $(a > 1)$ 在 $x \in (0 ， 5)$ 上有四个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x ， x ⩽ 0 \\ c o s x ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x + t) = 0$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 内有唯一实根，则实数 $t$ 的取值范围是.

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23. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) - ω (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{7 π}{3 ω})$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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24. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x \geq 1 ， \\ \frac{1}{3} (x + 5) ， x < 1 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = a$ 有两个实数解，则a的取值范围是；若两解分别为 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{2} > x_{1}$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值是.

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x - c (0 < a ⟨ 1 ， b ⟩ 0)$ .

(1)、若 $a = b$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，证明： $\frac{e^{x_{1}}}{a} + \frac{e^{x_{2}}}{1 - a} > \frac{4 b}{a}$ .

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27. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x (a > 0)$ ， $g (x) = x^{2} - 1 - x l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) > 0$ .

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28. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，试写出方程 $f (x) = 1$ 根的个数.(只需写出结论)

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29. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} + x_{2} > 2 l n a$ ．

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30. 已知关于 $x$ 的方程 $a x - l n x = 0$ 有两个不相等的正实根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $k$ 为常数，当 $a$ 变化时，若 $x_{1}^{k} x_{2}$ 有最小值 $e^{e}$ ，求常数 $k$ 的值.

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31. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1} l n x + x^{2}$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恰有一个零点；

(2)、设函数 $g (x) = a l n (x + 1) - \frac{2}{x + 1} - x^{2} ， F (x) = f (x) + g (x)$ .若 $F (x)$ 至少存在两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x) = e^{x - a}$ ， $g (x) = l n x + a (a \in R)$ .

(1)、若直线 $y = x$ 是 $y = g (x)$ 的切线，函数 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq 1 \\ g (x) ， x > 1 \end{array}$ 总存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $F (x_{1}) + F (x_{2}) = 2$ ，求 $x_{1} + F (x_{2})$ 的取值范围；

(2)、设 $G (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $| G (x) | = b$ 恰有三个不等实根，证明： $a - \frac{1}{a} < b < 2 a - 2$ .

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33. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；

(3)、证明： $e^{x} - l n (x + 2) > 0$ .

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34. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} (a \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、若 $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{x}$ ，求证：当 $a > 0$ 时， $g (a) > 0$ 恒成立；

(2)、若 $f (x)$ 存在极小值，求 $a$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a e^{x - 1}}$ 和 $g (x) = \frac{a + l n x}{x}$ 有相同的最大值.

(1)、求实数 $a$ ；

(2)、设直线 $y = b$ 与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，证明： $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ .

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