【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的零点与方程根的关系1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - x^{2} - 2 x - m$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有零点，则m的取值范围是（）

A、 $[1 - \ln^{2} 2 ， + \infty)$ B、 $[- \ln^{2} 2 - 1 ， + \infty)$ C、 $[- \ln^{2} 2 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} \ln 2^{2} ， + \infty)$

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2. 已知函数 $f (x) {\begin{array}{l} 2 x - 3 ， x > 0 ， \\ x^{3} - 3 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ 恰有5个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， 3)$

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3. 已知 $f (x) = c o s 2 x - a s i n x$ ，若存在正整数n，使函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， n π)$ 内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（）

A、1 B、－1 C、0 D、1或－1

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4. 已知函数 $f (x) = a c o s x - x^{2} - 1$ 有且只有1个零点，则实数 $a$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $F (x) = f (x) g (x)$ ，则 $F^{'} (x) = 2 + 2 l n x$ B、若 $G (x) = f (g (x))$ ，则 $G^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ C、若 $H (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则 $H^{'} (x) = \frac{1 - l n x}{2 x^{2}}$ D、方程 $f (x) = g (x) - 2$ 有唯一实根

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x (ω > 0)$ ，集合 ${x \in (0 ， π) | f (x) = 1}$ 中恰有3个元素，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2} ， 3]$ B、 $[\frac{3}{2} ， 3]$ C、 $[\frac{7}{3} ， 3]$ D、 $(\frac{7}{3} ， 3]$

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7. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) - 1$ 是奇函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}} + 1$ ；当 $x > 2$ 时， $f (x) = 2^{| x - 4 |} + 1$ .当 $k$ 变化时，函数 $g (x) = f (x) - k x - 1$ 的所有零点从小到大记为 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + ⋯ + f (x_{n})$ 的值可以为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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8. 过点 $(1 ， 2)$ 可作三条直线与曲线 $f (x) = x^{3} - 3 x + a$ 相切，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = x (2 - x)$ .则下列结论正确的个数是（）
① $f (7) = 8$ ；②若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \leq 6$ ，则 $m$ 的取值范围是 $(- \infty ， \frac{13}{2}]$ ；③若方程 $f (x) = m (x - 5)$ 恰有3个实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 1 ， - \frac{1}{4})$ ；④函数 $f (x)$ 在区间 $[2 n - 2 ， 2 n] (n \in N_{+})$ 上的最大值为 $a_{n}$ ，若 $\exists n \in N_{+}$ ，使得 $λ a_{n} < 2 n - 7$ 成立，则 $λ \in (- \infty ， \frac{3}{16}]$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{e^{| l n x |}} ， x \in (0 ， + ∞) \\ l n (1 - x) ， x \in (- ∞ ， 0] \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个极值点 B、若关于x的方程 $f (x) = t$ 恰有1个解，则 $t > 1$ C、函数 $f (x)$ 的图象与直线 $x + y + c = 0 (c \in R)$ 有且仅有一个交点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $(1 - x_{1}) (x_{2} + x_{3})$ 无最值

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11. 函数 $y = e^{x} + x^{2} + 2 x - 1$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

12. 若函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - | x^{2} - a x + 1 |$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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13. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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14. 设 $a \in R$ ，对任意实数x，记 $f (x) = m i n {| x | - 2 ， x^{2} - a x + 3 a - 5}$ ．若 $f (x)$ 至少有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同实根，则实数 $a$ 取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = 4 c o s (2 x + \frac{π}{6}) - 3$ ，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{6})$ 上的零点个数为．

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17. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上单调递减， $f (x + 2)$ 为偶函数，若 $f (x) = m$ 在 $[0 ， 12]$ 上恰好有4个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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18. 已知 $f (x) = s i n ω x (ω \in N^{*})$ ，若在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上存在两个不相等的实数a，b，满足 $f (a) + f (b) = 2$ ，则 $ω$ 可以为．（填一个值即可）

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19. 若过点 $P (1 ， m) (m \in R)$ 有3条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象相切，则 $m$ 的取值范围是.

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20. 已知函数 $f (x) = | e^{x} - 1 | - a x$ 有两个零点，则实数a的取值范围为．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 | ， x \in (0 ， 2] \\ \min {| x - 1 | ， | x - 3 |} ， x \in (2 ， 4] \\ \min {| x - 3 | ， | x - 5 |} ， x \in (4 ， + \infty) \end{array}$ ，其中 $\min {a ， b}$ 表示 $a$ ， $b$ 中较小的数.若 $f (x) = a$ 有且只有一个实根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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22. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{2})^{x} ， \\ l o g_{16} x ， \end{array}$ $\begin{array}{l} 0 \leq x < 2 \\ x \geq 2 \end{array}$ ，若关于x的方程 $[f (x)]^{2} + a f (x) + b = 0 (a ， b \in R)$ 有且仅有7个不同实数根，则 $a + b =$

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23. 已知直线 $x - y = 0$ 和曲线 $f (x) = \frac{a l n x}{x} (a > 0)$ 相切于点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ ，则 $x_{0} =$ ；若关于 $x$ 的方程 $f (f (x)) = t (t \in R)$ 恰有一个实数解，则实数 $t$ 取值的集合为.

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} + a (x - \ln x)$ （ $e$ 为自然对数的底数）.若函数 $f (x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2} ， 2)$ 上有三个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围为 .

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三、解答题

25. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x ， g (x) = b \sqrt{x}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 有公共点，
（i）当 $a = 0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > e$ ．

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26. 已知 $f (x) = x^{2} - a e^{x}$ ，存在 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = 0$ ．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、试探究 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 与3的大小关系，并证明你的结论．

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27. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x - a}} - l n x - a$ ，其中a为常数， $e = 2.71828$ …是自然对数的底数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 1$ 时，问 $f (x)$ 有几个零点，请说明理由．

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28. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (\frac{l n x + x}{x})$ （ $e$ 是自然对数的底数）有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ .

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29. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - m x - \frac{n}{x}$ （ $m$ 、 $n$ 均为实数）.

(1)、当 $m = 2$ 时，若 $f (x)$ 是单调增函数，求 $n$ 的取值范围；

(2)、当 $n > 0$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数.

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30. 已知函数 $f (x) = x e^{\frac{a}{x}} + l n x + \frac{a}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = e + 1$ 恰有两个根，求a的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x} + c o s x - s i n x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq 0$ ；

(2)、判断函数 $g (x) = e^{2 x - \frac{π}{2}} [f (x) + f (2 x) - e^{2 x}] - 1$ 的零点个数.

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32. 已知 $k \in R$ ， $a > 0$ ，设函数 $f (x) = e^{x - a} - \frac{k}{a} x^{2}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底， $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、当 $a = 1 ， k = \frac{1}{2}$ 时，证明：函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(2)、若对任意正实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 均有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .求实数 $k$ 的取值范围，并证明 $x_{2} + x_{3} > 4$ .

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33. 设 $P$ 是坐标平面 $x O y$ 上的一点，曲线 $Γ$ 是函数 $y = f (x)$ 的图像．若过点 $P$ 恰能作曲线 $Γ$ 的 $k$ 条切线（ $k \in N$ ），则称 $P$ 是函数 $y = f (x)$ 的“ $k$ 度点”．

(1)、判断点 $O (0 ， 0)$ 与点 $A (2 ， 0)$ 是否为函数 $y = l n x$ 的1度点，不需要说明理由；

(2)、已知 $0 < m < π$ ， $g (x) = s i n x$ ．证明：点 $B (0 ， π)$ 是 $y = g (x) (0 < x < m)$ 的0度点；

(3)、求函数 $y = x^{3} - x$ 的全体2度点构成的集合．

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34. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ， $g (x) = l n (x + a)$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) ≥ g (x)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 存在两条公切线，求实数 $a$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = a l n x + b x^{2} e^{1 - x}$ ， $a$ ， $b \in R$ . $e \approx 2.71828 ⋯$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程是 $y = x + l n 2$ ，求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $a = e$ ，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 恰有两个零点，求 $b$ 的取值范围.

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