【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：弦切互化

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若点 $P (\cos α, \sin α)$ 在直线 $y = - 2 x$ 上，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2})$ 的值等于（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 已知 $tan a = 2$ ，且 $\frac{sin (a + \frac{π}{4})}{sin (a - \frac{π}{4})} = m tan 2 a$ ，则 $m =$ （）

A、 B、 C、 $\frac{4}{9}$ D、

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3. 若 $tan (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $cos 2 α + 2 sin 2 α$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、1 C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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4. 已知cosα=﹣ $\frac{4}{5}$ ，且α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则tan（α+ $\frac{π}{4}$ ）等于（）

A、﹣ $\frac{1}{7}$ B、﹣7 C、 $\frac{1}{7}$ D、7

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5. 已知 $t a n (α - π) = 2$ ，则 $\frac{c o s 2 α}{1 + s i n 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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6. 若 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 5$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{13}$ D、 $- \frac{12}{13}$

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7. 下列命题正确的是（）

A、 $\frac{1 - t a n 15 °}{1 + t a n 15 °} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、函数 $y = \frac{1 - t a n^{2} 2 x}{1 + t a n^{2} 2 x}$ 的最小正周期是 $π$ C、 $t a n A + \frac{1}{t a n A} = m (m \neq 0)$ ，则 $s i n 2 A = - \frac{2}{m}$ D、若 $c o s x c o s y + s i n x s i n y = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 x - 2 y) = - \frac{7}{9}$

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8. 下列等式成立的有（）

A、 $s i n^{2} 7 5^{°} - c o s^{2} 7 5^{°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2} s i n 1 5^{∘} + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 1 5^{∘} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{s i n 1 5^{∘} - c o s 1 5^{∘}}{s i n 1 5^{∘} + c o s 1 5^{∘}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{t a n \frac{5 π}{24}}{1 - t a n^{2} \frac{5 π}{24}} = 2 + \sqrt{3}$

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9. 已知 $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + 2 c o s^{2} (\frac{π}{2} + α)}{1 - t a n (π - α)}$ 的值为（）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $- \frac{18}{25}$ D、 $\frac{18}{25}$

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10. 已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{c o s α}{c o s (α + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，“ $t a n A t a n B = 1$ ”是“ $s i n^{2} A + s i n^{2} B = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知 $t a n θ = 4$ ，则 $\frac{2 c o s θ - s i n θ}{c o s θ + 2 s i n θ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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13. 在锐角 $Δ A B C$ 中，已知 $\cos A (\sin B + \cos B) = \sin C$ ，则下列正确的结论为（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $B = \frac{π}{3}$ C、 $A = B$ D、 $B = \frac{π}{4}$

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二、填空题

14. 若 $\tan α = k$ ， $α$ 为钝角，则 $\sin α$ 的值为(用 $k$ 表示).

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15. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则tanα＝．

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16. 已知sinθ=cosθ，则tanθ的值为。

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17. 如图，已知向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 满足： $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ， $⟨ \vec{O A} ， \vec{O C} ⟩ = α$ 且 $t a n α = 7 ， ⟨ \vec{O B} ， \vec{O C} ⟩ = \frac{π}{4}$ .若 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m ， n \in R) ，$ 则 $\frac{m}{n} =$ .

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18. 若 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} = 3$ ， $t a n (α - β) = 2$ ，则 $t a n (2 α - β) =$ ．

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19. 已知tanα＝3，π＜α $＜ \frac{3 π}{2}$ ，则cosα﹣sinα＝．

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20. 若正数 $α ， β ， γ$ 满足 $α + β + γ = π$ ，且 $s i n α + s i n γ = 2022 s i n β$ ，则 $\frac{c o s^{2} \frac{α}{2} s i n γ + c o s^{2} \frac{γ}{2} s i n α}{s i n (α + γ)}$ 的值为.

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21. 已知 $t a n (π + α) = - 2$ ，则 $\frac{s i n α - 4 c o s α}{s i n α + c o s α} =$ .

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22. 已知函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s (x + φ)$ 是偶函数，则 $\frac{3 s i n φ - 2 c o s φ}{2 s i n φ + 3 c o s φ} =$ ．

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23. 已知 $s i n 2 α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\frac{t a n (α - \frac{π}{6})}{t a n (α + \frac{π}{6})}$ 的值为.

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24. 已知 $t a n a = \frac{2}{3} ， t a n b = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{c o s (a + b)}{s i n (a - b)}$ 的值为．

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25. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} t a n A = a^{2} t a n B$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点，若 $A D = 5$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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26. $\frac{1}{s i n 45 ° s i n 46 °} + \frac{1}{s i n 46 ° s i n 47 °} + \dots + \frac{1}{s i n 89 ° s i n 90 °} =$ .

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三、解答题

27. 在 $△ A B C$ 中，已知 $2 S = b c \cos A$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，a，b，c分别为角A，B，C的对边.

(1)、求角A的值；

(2)、若 $\tan B = \frac{6}{5}$ ，求 $\sin 2 C$ 的值.

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28. 已知2sina tana=3，且0<a<π．
（Ⅰ)求a的值；

（Ⅱ)求函数f(x)=4cosx cos（x-a)在[0， $\frac{π}{4}$ ]上的值域。

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29. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $t a n α = \frac{1}{2}$ ， $c o s (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $β$ 的值．

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30. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $3 \vec{A B} \cdot \vec{A C} + 4 \vec{C A} \cdot \vec{C B} = \vec{B A} \cdot \vec{B C}$

(1)、求 $\frac{c}{b}$ ；

(2)、若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $| \vec{A D} | = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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