【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数中的恒等变换2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{2}) c o s (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 B、点 $(\frac{π}{8} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 C、直线 $x = \frac{5 π}{8}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴

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2. 若 $s i n (2 α + \frac{π}{6}) + c o s 2 α = \sqrt{3}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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3. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x ， g (x) = s i n x + c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 均在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x)$ 的图象平移得到 C、 $f (x)$ 图象的对称轴均为 $g (x)$ 图象的对称轴 D、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2} + \sqrt{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n x + a c o s x$ 满足： $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ .若函数 $f (x)$ 在区间 $[x_{1} ， x_{2}]$ 上单调，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则当 $| x_{1} + x_{2} |$ 取得最小值时， $c o s (x_{1} + x_{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知函数 $f (x) = - 2 s i n^{2} x + s i n 2 x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 内有2个零点 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$

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6. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a^{2} - c^{2} = b c$ ，则 $\frac{1}{\tan C} - \frac{1}{\tan A} + 3 \sin A$ 的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $(2 \sqrt{3} ， 4)$ C、 $(\frac{13 \sqrt{3}}{6} ， 4)$ D、 $(2 \sqrt{3} ， \frac{13 \sqrt{3}}{6})$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (x - \frac{π}{2}) c o s x - 2 s i n^{2} x$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[m ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$

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8. 若命题“ $\forall x \in R$ ， $m \geq s i n x + c o s x$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq \sqrt{2}$ B、 $m \geq 2$ C、 $m \leq - \sqrt{2}$ D、 $m \leq - 2$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 c o s 2 x$ ， $g (x) = f (x) + | f (x) |$ ，若存在 $a \in R$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $f (x) \geq f (a)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(a ， a + \frac{π}{2})$ 单调递增 B、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | ≤ \sqrt{5}$ C、 $\exists θ > 0$ ，使得 $g (x)$ 在 $(a ， a + θ)$ 上有且仅有1个零点 D、若 $g (x)$ 在 $(a + θ ， a - \frac{π}{3})$ 单调，则 $θ \in [- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3})$

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10. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s x$ 的值可以取到2，则常数 $φ$ 可以取（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、 $\frac{3 π}{2}$

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二、填空题

11. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有2个极值点，则 $ω$ 的取值范围为．

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13. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $b^{2} + 2 a b + 2 a b \cos C = a^{2} + c^{2}$ ，则 $\cos^{2} \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} - 1$ 的取值范围为.

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14. 已知函数 $f (x) = \sin x$ ，若对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) + f (x + m) = c$ （c为常数），则常数m的一个取值为．

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15. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} + 2 x) \cos (\frac{π}{6} - 2 x)$ 最小正周期为，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x)$ 的值域为．

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16. 已知 $\cos (α + \frac{π}{5}) = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\sin (2 α - \frac{3}{5} π) =$ .

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17. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC ，则sin²A+sin²B的最大值为．

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18. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D$ ， $3 \tan^{2} B - 2 \tan A + 3 = 0$ ，则 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围为．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上，且满足 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2}$ 的最小值是．

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20. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 \sin^{2} \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin A$ ， $\sin (B + C) = 2 \cos B \sin C$ .则 $A$ = ， $\frac{A C}{A B}$ =

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21. 在条件① $2 \cos A (b \cos C + c \cos B) = a$ ，② $c \sin \frac{B + C}{2} = a \sin C$ ，③ ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a = \sqrt{7}$ ， $b - c = 2$ ，.求 $B C$ 边上的高

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三、解答题

22. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx，sinx）， $\vec{b}$ =（3，﹣ $\sqrt{3}$ ），x∈[0，π]．

(1)、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，求x的值；

(2)、记f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

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23. [选修4-4 ，坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + 4 t \\ y = 1 - t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

(2)、若C上的点到l距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a．

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24. 已知函数f（x）=cosx•sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\sqrt{3}$ cos²x+ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，x∈R．

(1)、求f（x）的最小正周期；

(2)、求f（x）在闭区间[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值和最小值．

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25. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= $\frac{1}{3}$ ，求B．

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26. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s B + \sqrt{3} s i n B = 2$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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27. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别 $a ， b ， c$ ， $c o s C s i n (A + \frac{π}{6}) - s i n C s i n (A - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为4，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ .

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28. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{\sqrt{3} b}{a} = \frac{1 - c o s B}{s i n A}$ .

(1)、求B.

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 1$ ， _______，求 $| B D |$ .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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29. 在△ $A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边， $\vec{m} = (2 a + c ， b)$ ， $\vec{n} = (c o s B ， c o s C)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ .

(1)、求角B大小；

(2)、设 $f (x) = 2 c o s x s i n (x + \frac{π}{3}) - 2 s i n^{2} x s i n B + 2 s i n x c o s x c o s (A + C)$ ，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值及相应的x.

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30. 在 $Δ A B C$ 中，若边 $a ， b ， c$ 对应的角分别为 $A ， B ， C$ ，且 $c = \sqrt{3} a s i n C - c c o s A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $c = 3 ， b = 1$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求AD的长度．

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31. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{π}{4} - x) c o s (\frac{π}{4} - x) - c o s (\frac{π}{3} + 2 x)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $f (\frac{C}{2}) = 1$ ，且 $c^{2} = a b$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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32. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x$ .

(1)、若 $ω = 2$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的零点；

(2)、已知 $ω = 1$ ，函数 $g (x) = (f (x))^{2} + \sqrt{3} c o s 2 x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，求函数 $g (x)$ 的值域.

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33. 已知 $x \in R ， \vec{m} = (2 c o s x ， 2 \sqrt{3} s i n x) ， \vec{n} = (c o s x ， c o s x)$ ，

(1)、设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，求函数 $y = f (x)$ 的解析式及最大值；

(2)、设△ABC的三个内角A､B､C的对边分别为a､b､c，当 $x = A$ 时， $\vec{m} = a \vec{n}$ ，且 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积.

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34. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．求 $\cos B + \sqrt{2} \cos C$ 的取值范围．

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35. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $b = \sqrt{3}$ ， $a \sin \frac{A + C}{2} = b \sin A$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、证明 $a + c$ 不可能等于3．

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