【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数中的恒等变换1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知α∈(0, $\frac{π}{2}$ )，2sin2α=cos2α+1，则sinα=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 已知点 $M$ 是圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的一个动点，点 $N$ 是直线 $y = x$ 上除原点 $O$ 外的任意一点，则向量 $\vec{O M}$ 在向量 $\vec{O N}$ 上的投影的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $s i n (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 4 c o s α + 1 = 0$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$

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5. 若 $5 s i n 2 α + 5 c o s 2 α + 1 = 0$ ，则 $t a n α$ 的值可能为（）

A、2 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有 $3$ 个零点和 $2$ 条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{6} ， \frac{4}{3})$ B、 $[\frac{13}{12} ， \frac{19}{12})$ C、 $[\frac{4}{3} ， \frac{19}{12})$ D、 $[\frac{13}{12} ， \frac{4}{3})$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (c o s θ ， s i n θ) ， \vec{b} = (\sqrt{2} ， 1)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{b} |$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x c o s x + 4 c o s^{2} x - 1$ ，若实数a、b、c使得 $a f (x) - b f (x + c) = 3$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，则 $2 a + b - c o s c$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， $∠ A B C = ∠ C A D$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，则 $t a n ∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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10. 已知 $c o s 2 x = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + c o s^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{13}{20}$ D、 $\frac{17}{24}$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x - \sqrt{3} s i n^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（）

A、 $ω = 1$ B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + 2 k π ， \frac{π}{12} + 2 k π]$ ，（ $k \in Z$ ） C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于y轴对称 D、 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = - \sqrt{3}$

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二、填空题

12. 函数f(x)=sin(2x+ $\frac{3 π}{2}$ )-3cosx的最小值为.

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α ， β$ 的终边与单位圆的交点分别为 $A ， B$ ，若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $c o s (α + β) =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{c}{b} = s i n A - c o s A$ ，则 $\frac{2}{t a n A} + \frac{1}{t a n B} =$ ．

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15. 若函数 $y = f (x)$ 的图像可由函数 $y = 3 s i n 2 x - \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图像向右平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位所得到，且函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是严格减函数，则 $φ =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $b + c$ 的最小值为．

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17. 若 $c o s 2 α = 2 c o s (α + \frac{π}{4}) ， α \in (0 ， π)$ ，则 $s i n 2 α =$ ， $t a n α =$ .

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18. 已知 $2 c o s^{2} x - s i n 2 x = A s i n (ω x + φ) + b (A < 0)$ ，则 $A =$ ， $φ =$ .

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19. 若函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s (x + φ)$ 的最大值为1，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x) ⩽ f (\frac{π}{4})$ 对任意的实数 $x$ 都成立，则 $ω$ 的最小值为.

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + a \cos x$ ， $x \in (0, \frac{π}{3}]$ 的最小值为 $a$ ，则实数 $a$ 所有取值组成的集合为.

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22. 已知 $f (x) = \sin (2 x + φ) + \sqrt{3} \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 是奇函数，若 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $m \leq \sin (2 x + φ) \leq n$ ，则 $n - m$ 的最小值是.

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三、解答题

23. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $b + c = 2 a$ ， $3 c \sin B = 4 a \sin C$ .
（Ⅰ）求 $\cos B$ 的值；

（Ⅱ）求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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24. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ cos（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）﹣2sinxcosx．（13分）

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当x∈[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]时，f（x）≥﹣ $\frac{1}{2}$ ．

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25. 已知函数f（x）=sin²x﹣cos²x﹣2 $\sqrt{3}$ sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ $\frac{2 π}{3}$ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

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26. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b c o s \frac{A + B}{2} = c s i n B$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $a + b = \sqrt{3} c$ ，求sinA．

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27. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， 1 + c o s 2 x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， \frac{1}{2})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最大值及相应 $x$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A为锐角，且 $A + B = \frac{7 π}{12}$ ， $f (A) = 1$ ， $B C = 2$ ，求边 $A C$ 的长．

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28. 已知 $f (x) = x + 2 s i n x$ ，等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (a_{1})$ ．

(1)、求证：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(π ， π)$ 中心对称；

(2)、若 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 是某三角形的三个内角，求 $T_{3}$ 的取值范围；

(3)、若 $S_{100} = 100 π$ ，求证： $T_{100} = 100 π$ ．反之是否成立？并请说明理由．

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29. 从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，② $\frac{a + b}{s i n C} = \frac{c - b}{s i n A - s i n B}$ ， ③ $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{c + b}{a}$ ．
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ____．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的最大值．

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30. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $c o s 2 A + c o s 2 B - c o s 2 C = 1 - 2 s i n A s i n B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $s i n A + s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ （e是自然对数的底数）， $g (x) = s i n x$ ．

(1)、若函数 $m (x) = f (x) g (x)$ ，求函数 $m (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的最大值．

(2)、若函数 $y = | g (x) |$ 的图象与直线 $y = k x (k > 0)$ 有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大值为 $α$ ，求证： $\frac{s i n α}{c o s α + c o s 3 α} = \frac{α (α^{2} + 1)}{2 (1 - α^{2})}$ ．

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32. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(a + b) b = c^{2}$ ．

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、求 $\frac{a + 4 b}{b \cos B}$ 的最小值．

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33. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 $a = 1 ， b = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $∠ B = \frac{π}{4}$ ，求角A的大小；

(2)、求 $c o s A c o s (A + \frac{π}{6})$ 的取值范围.

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34. 已知的数 $f (x) = \sqrt{3} s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2} - c o s^{2} \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (A) = \frac{1}{2}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积．

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35. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， $∠ M O N = \frac{π}{2}$ ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN

(1)、若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；

(2)、当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？

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