【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：和差化积公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ 在区间 $[a ， b]$ 上是增函数，且 $f (a) = - 2$ ， $f (b) = 2$ ，则函数 $g (x) = \sqrt{3} \cos x - \sin x$ 在区间 $[a ， b]$ 上（）

A、是增函数 B、是减函数 C、可以取得最大值2 D、可以取得最小值 $- 2$

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2. 设 $m > 0$ ，把函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ 的图象向左平移m个单位长度后，得到函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象（ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则m的值可以为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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3. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a²-b²=c，则（）

A、A=2B B、B=2A C、a的取值范围是(1， $\sqrt{3}$ ) D、a的取值范围是( $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ )

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4. 下列命题中，是假命题的是（）

A、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty) ， x - 1 > ln x$ ，则p的否定为： $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty) ， x_{0} - 1 > ln x_{0}$ C、在 $△ A B C$ 中，“ $\sin A + \cos A = \sin B + \cos B$ ”是“ $A = B$ ”的充要条件 D、若定义在R上的函数 $y = f (x)$ 是奇函数，则 $y = f (f (x))$ 也是奇函数

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5. 在△ABC 中， $\frac{1 - cos A}{1 - cos B} = \frac{a}{b}$ ，则△ABC一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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6. 对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是（　　）

A、2sinα•cosβ=sin（α+β）+sin（α﹣β） B、2cosα•sinβ=sin（α+β）+cos（α﹣β） C、cosα+sinβ= $2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}$ D、cosα-sinβ= $2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

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7. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan $\frac{A}{2}$ •tan $\frac{c}{2}$ 的值为（参考公式：sinA+sinC=2sin $\frac{A + C}{2}$ cos $\frac{A - C}{2}$ ）（　　）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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8. 计算tan20°+ $\frac{2 \sin 40 °}{\cos 20 °}$ 的值为（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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9. 已知A，B是△ABC的两个内角，向量 $\vec{a}$ =（ $\sqrt{2}$ cos $\frac{A + B}{2}$ ， sin $\frac{A - B}{2}$ ），且| $\vec{a}$ |= $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则tanA•tanB=（　　）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、- $\frac{1}{3}$

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10. 在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的大小关系为（　　）

A、A、B的大小关系不确定 B、A=B C、A＜B D、A＞B

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二、填空题

11. 若cosxcosy+sinxsiny= $\frac{1}{2}$ ，sin2x+sin2y= $\frac{2}{3}$ ，则sin（x+y）= ．

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} + ⋯ + a_{n + k} = 0 (n \in N^{*} ， k \in N^{*})$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“k阶相消数列”.已知“2阶相消数列” ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 c o s ω n$ ，记 $T_{n} = b_{1} b_{2} ⋯ b_{n}$ ， $1 \leq n \leq 2021$ ， $n \in N^{*}$ ，则当 $n =$ 时， $T_{n}$ 取得最小值.

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13. 若锐角 $△ A B C$ 内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ， $\sin 2 A + \sin (A - B + C) = \sin (C - A - B) + \frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，则 $a b c$ 的取值范围为．

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14. 函数 $f (x) = \sin 2 x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ ，函数 $g (x) = m \cos (2 x - \frac{π}{6}) - 2 m + 3$ $(m > 0)$ ，若对所有的 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 总存在 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数m的取值范围是．

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15. 已知sin α+sin β= $\frac{21}{65}$ ，cos α+cos β= $\frac{27}{65}$ ，则 $\frac{\sin β - \sin α}{\cos β - \cos α}$ =.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率e= $\frac{1}{2}$ ，A，B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA，PB的倾斜角分别为 $α ， β$ ，则 $\frac{\cos (α + β)}{\cos (α - β)}$ =.

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17. 若sinα+sinβ= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ （cosβ﹣cosα）α、β∈（0，π），则α﹣β的值是

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18. 已知sinα+sinβ= $\frac{21}{65}$ ， cosα+cosβ= $\frac{27}{65}$ ，则 $\frac{\sin β - \sin α}{\cos β - \cos α}$ =

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19. 计算： $\frac{\sin 70 ° + \sin 50 °}{\sin 80 °}$ =

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20. cos（x﹣ $\frac{π}{4}$ ）﹣cos（x+ $\frac{π}{4}$ ）的值域是

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三、解答题

21. 杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个平面凸四边形 $A B C D$ 的休闲､观光及科普宣教的平台，如图所示，其中 $D C = 4$ 百米， $D A = 2$ 百米， $△ A B C$ 为正三角形.建成后 $△ B C D$ 将作为人们旅游观光､休闲娱乐的区域， $△ A B D$ 将作为科普宣教湿地功能利用､弘扬湿地文化的区域.

(1)、当 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ 时，求旅游观光､休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 的面积；

(2)、求旅游观光､休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 的面积的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \sin x ， \begin{matrix} \end{matrix} g (x) = \sin 2 x + \cos 2 x$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数.

(1)、当 $x \in [0 ， 2 π]$ 时，解方程 $f (x) = g^{'} (x)$ ；

(2)、求函数 $F （ x ） = f (x) + g (x)$ 的最小值.

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23. 在△ $A B C$ 中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

(1)、若 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求△ $A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $\sin C + \sin (B - A) = \sin 2 A$ ，试判断△ $A B C$ 的形状，并说明理由.

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24. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x - \frac{π}{6}) - 4 \sin^{2} ω x + 2 (ω > 0)$ ，其图象与x轴相邻的两个交点的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个长度单位得到函数 $g (x)$ 的图象恰好经过点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ ，求当 $m$ 取得最小值时， $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{7 π}{12}]$ 上的单调区间.

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25. 已知点 $A (1 ， 0)$ 、 $M (1 + \cos 2 x ， 1)$ 、 $N (2 ， \sqrt{3} \sin 2 x + 2 m)$ （ $x \in R ， m \in R$ ），且 $f (x) = \vec{A M} \cdot \vec{A N}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、如果当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6})$ 时，两个函数 $f (x)$ 与 $g (x) = 2$ 的图象有两个交点，求m的取值范围.

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26. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- \sqrt{3} \sin^{2} \frac{x}{2}, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, \sqrt{3} \sin x + \sqrt{3})$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ ．

(1)、若 $f (x) = \sqrt{3}$ ，求x的取值集合；

(2)、当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时，不等式 $f (x) \geq \sqrt{3} m \sin 2 x$ 恒成立，求m的取值范围．

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27. 已知 ${\begin{array}{l} \sin α + \sin β = b \\ \cos α + \cos β = a \end{array}$ .

(1)、求 $c o s (α - β)$ ；

(2)、若 $b = 1, a = 0$ ，求 $\cos (α + β) \cos (α - β)$ ；

(3)、求 $s i n (α + β), c o s (α + β)$ .

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28. 在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB．
（1）求∠C的度数；
（2）在△ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围．

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29. 求使得sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a．

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30. 计算：sin69°﹣sin3°+sin39°﹣sin33°．

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