【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：积化和差公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + 4 s i n^{2} ω x (ω \in N^{*})$ ，若关于x的方程 $f (x) = 2$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上有且只有一个解，则 $ω$ 为（）.

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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2. 把函数 $f (\begin{array}{l} x \end{array}) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (0 < ω < π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（）

A、 $f (\begin{array}{l} x \end{array})$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\begin{array}{l} x \end{array})$ 关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $f (\begin{array}{l} x \end{array})$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、若 $f (\begin{array}{l} x \end{array})$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， a)$ 上存在最大值，则实数a的取值范围为 $(\frac{π}{6} ， + \infty)$

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3. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\frac{s i n α}{s i n β} = s i n (α + β)$ ，则 $t a n α$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 若 $m \cos 80 ° + \sqrt{3} \tan 10 ° = 1$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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5. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{\cos α - \sin α}{\cos α + \sin α} = \frac{\sin β}{1 + \cos β}$ ，则（）

A、 $α + β = \frac{π}{4}$ B、 $α + β = \frac{π}{2}$ C、 $α + 2 β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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6. $cos 20 ° cos 10 ° - sin 20 ° \sin 10 °$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 在 $Δ A B C$ 中，若 $sin (A - B) cos B + cos (A - B) sin B \geq 1$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形或钝角三角形

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8. 若tanα=2tan $\frac{π}{5}$ ，则 $\frac{\cos (α - \frac{3 π}{10})}{\sin (α - \frac{π}{5})}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ ， ﹣1）， $\vec{n}$ =（cosA，sinA）．若 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{3}$

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10. 在△ABC中，若B=30°，则cosAsinC的取值范围是（　　）

A、[﹣1，1] B、[﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ] C、[- $\frac{1}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ] D、[- $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{4}$ ]

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二、填空题

11. 若函数 $f (x) = \sin (x + φ) + \cos x$ 的最大值为2，则常数 $φ$ 的一个取值为．

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，且BC边上的高为 $\frac{\sqrt{2}}{4} a$ ，则 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 的最大值是．

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13. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x + \sin x - \cos x$ ， $x \in [0, π]$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x$ ， $g (x) = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，

(1)、 $f (x) = 0$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的解是；

(2)、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x)$ 的图象向右平移 $m$ $(m > 0)$ 个单位得到，则m的最小值为.

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 a c}$ ，则 $a + c$ 的取值范围是．

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16. 在 $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 a - 3$ 中，a的取值范围是..

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $\sqrt{2} \sin A + \sin B \sin C$ 的最大值为.

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18. 若函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x - 2 \cos x + 2 ， x \in [0 ， π]$ 的图象与直线 $y = m$ 恰有两个不同交点，则m的取值范围是.

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19. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是．

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20. 已知 $α$ 为锐角，且 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α$ ．

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三、解答题

21. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

(1)、若a= $\sqrt{3}$ c，b=2 $\sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若sinA+ $\sqrt{3}$ sinC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求C.

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22. 已知向量 $\vec{m} = (s i n 2 x ， - \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (1 ， c o s 2 x)$ ，且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的周期

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $g (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 的值域．

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + s i n^{2} ω x$ ，其中 $0 < ω < 6$ ， $f (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $θ \in (\frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ ，且 $f (θ) = \frac{5}{6}$ ，求 $s i n 2 θ$ 的值．

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24. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线 $A B$ ， $A C$ 为两边夹角为 $120 °$ 的公路（长度均超过 $\sqrt{3}$ 千米），在两条公路 $A B$ ， $A C$ 上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路 $P M$ ， $P N$ ，测得 $A M = \sqrt{3}$ 千米， $A N = \sqrt{3}$ 千米．

(1)、求线段 $M N$ 的长度；

(2)、若 $∠ M P N = 60 °$ ，求两条观光线路 $P M$ 与 $P N$ 之和的最大值．

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25. 在① $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ，② $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ，③ $\sqrt{3} \sin B + \cos B = 2$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________， $A = \frac{π}{4}$ ， $b = \sqrt{2}$ .

(1)、求角B；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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26. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x + sin (π - 2 x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期．

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调区间．

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27. 已知函数 $f (x) = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若角 $α \in (0 ， π)$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{4}$ ，求 $\sin (α + \frac{7 π}{12})$ 的值.

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28. 设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，其中向量 $\vec{m} = (2 \cos x ， 1)$ ， $\vec{n} = (\cos x ， \sqrt{3} \sin 2 x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与单调递减区间；

(2)、在 $Δ Α Β C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $Α$ 、 $Β$ 、 $C$ 的对边，已知 $f (Α) = 2$ ， $b = 1$ ， $Δ Α Β C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $Δ Α Β C$ 外接圆半径 $R$ ．

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29. 已知sinα+cosβ= $\frac{3}{5}$ ，cosα+sinβ= $\frac{4}{5}$ ，求：

(1)、sin(α+β)的值；

(2)、cosα sinβ的值．

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30.

(1)、不查表求 $4 cos 50 ° - tan 40 °$ 的值；

(2)、求证： $sin 3 x {sin}^{3} x + cos 3 x {cos}^{3} x = {cos}^{3} 2 x$ .

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31. 已知曲线C₁ ， C₂的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ， $\sqrt{2} ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，射线θ＝φ， $θ = φ + \frac{π}{4}$ ， $θ = φ - \frac{π}{4}$ 与曲线C₁交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（Ⅰ）求证： $| O B | + | O C | = \sqrt{2} | O A |$ ；
（Ⅱ）当 $φ = \frac{π}{12}$ 时，求点B到曲线C₂上的点的距离的最小值．

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