【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：半角公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= $\frac{2}{3}$ ，则|a-b|=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、1

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2. 已知 $c o s \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $c o s (α + π) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. $△ A B C$ 中， $\sin (A + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\tan \frac{A}{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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4. 已知 $α \in (π, \frac{3}{2} π), 2 \sin 2 α = 1 - \cos 2 α$ ，则 $\tan \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$ C、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边的长分别为 $a, b, c$ ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（）

A、 $\sin A + \sin B = \sin C (\cos A + \cos B)$ B、 $\frac{\tan A}{\tan B} = \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、 $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ D、 $a \cos B - b \cos A = c$

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6. $m = 2 \sin 18^{\circ}$ ，若 $m^{2} + n = 4$ ，则 $\frac{m \sqrt{n}}{2 \cos^{2} 27^{°} - 1} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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7. 若 $cos α = - \frac{4}{5}$ ， $α$ 是第三象限的角，则 $\frac{1 + tan \frac{α}{2}}{1 - tan \frac{α}{2}} =$ （）

A、3 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知曲线的参数方程是 ${\begin{matrix} x = {cos}^{2} \frac{α}{2} \\ y = \frac{1}{2} s i n α \end{matrix} (α 为参数$ )，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则此曲线的极坐标方程为（）

A、 $ρ$ B、 $ρ = 2 sin θ$ C、 $ρ = 2 cos θ$ D、 $ρ = cos θ$

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9. 已知cos α= $\frac{1}{3}$ ，α∈（ $\frac{3 π}{2} ， 2 π$ ），则cos $\frac{α}{2}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 若 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，α是第三象限的角，则 $\frac{1 + \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2}}$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、﹣2

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11. 已知α是第一象限角，那么 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第一或第二象限角 D、第一或第三象限角

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二、填空题

12. 已知 $\sin (\frac{π}{2} - θ) = - \frac{4}{5}$ ，则 $\cos \frac{θ}{2} =$

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13. 已知cosθ $= - \frac{3}{5}$ ，θ∈（π，2π），则sinθ＝， tan $\frac{θ}{2} =$ .

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14. 若 $cos α = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $tan \frac{α}{2} =$ ．

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15. 已知cosθ=﹣ $\frac{7}{25}$ ，θ∈（π，2π），则sin $\frac{θ}{2}$ +cos $\frac{θ}{2}$ = ．

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16. 已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣ $\frac{3}{5}$ ，则tan $\frac{θ}{2}$ 的值为．

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17. 已知sinα= $\frac{4}{9} \sqrt{2}$ ，且α为钝角，则cos $\frac{α}{2}$ = ．

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18. 已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan $\frac{α + β}{2}$ = ．

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19. 已知 $\cos α = \frac{1}{3}$ ，且2π＜α＜3π，则 $\sin \frac{α}{2}$ =

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20. 若cosα=﹣ $\frac{4}{5}$ ， α是第三象限的角，则tan $\frac{α}{2}$ =

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21. 2cos²15°﹣cos30°=

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三、解答题

22. 已知 $\overset{⇀}{a} = (\cos x ， \sin x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\cos x ， \sqrt{3} \cos x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边长，若 $f (A) = 1$ ， $b = 1$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求a的值.

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23. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ .
（I）求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ ；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的值域.

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24. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $\sin B = 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{B}{2} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $\tan B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $b = 2$ ，求△ABC的面积.

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25. 已知 $\sin 2 α = \frac{3}{5}$ ， $α \in [\frac{5}{4} π, \frac{3}{2} π]$ ，求 $\cos 2 α$ 及 $\cos α$ 的值.

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26. 已知sinx= $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，角x终边在第一象限，求tan $\frac{x}{2}$ 的值．

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27. 已知sinα= $\frac{5}{13}$ ，且α=（ $\frac{π}{2}$ ， π），求cos2α，sin2α及sin $\frac{α}{2}$ 的值．

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28. 已知sinα= $\frac{12}{13}$ ， sin（α+β）= $\frac{4}{5}$ ， α与β均为锐角，求cos $\frac{β}{2}$ ．（cos $\frac{β}{2}$ = $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos β}{2}}$ ）

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29. 已知 $\cos θ = m ， θ \in (π ， \frac{3}{2} π)$ ，请用m分别表示tanθ、tan2θ、 $\tan \frac{θ}{2}$ ．．

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30. 已知0＜β＜ $\frac{π}{4}$ ＜α＜ $\frac{π}{2}$ ， cos（2α﹣β）=﹣ $\frac{11}{14}$ ， sin（α﹣2β）= $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，求sin $\frac{α + β}{2}$ 的值．

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