【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的正切公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $α \in R ， \sin α + 2 c o s α = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则tan2α=（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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2. $1 + t a n 22.5 ° =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $t a n^{2} θ + \sqrt{3} t a n θ - 1 = 0$ ，则 $t a n 2 θ =$ （）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $t a n (A + B) = - \sqrt{2}$ ，则 $t a n 2 C =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 已知 $s i n (\frac{π}{2} + α) + \sqrt{2} s i n α = \sqrt{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 若 $α$ 是钝角且 $s i n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）．

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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7. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n α - c o s α = \frac{1}{5}$ ，则 $t a n 2 α + \frac{5 s i n α c o s α}{c o s^{2} α - s i n^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{36}{7}$ B、12 C、－12 D、 $- \frac{36}{7}$

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8. 在平面直角坐标系中，对任意角 $α$ ，设 $α$ 的终边上异于原点的任意一点 $P (x ， y)$ ，它与原点的距离是r.我们规定：比值 $\frac{r}{x}$ 、 $\frac{r}{y}$ 、 $\frac{x}{y}$ 分别叫做角 $α$ 的正割、余割、余切，分别记作 $s e c α$ 、 $c s c α$ 、 $c o t α$ ，把 $y = s e c x$ 、 $y = c s c x$ 、 $y = c o t x$ 分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是（）

A、 $c o s α + s e c α \geq 2$ B、 $y = s e c x$ 的定义域为 ${x | x \neq k π ， k \in Z}$ C、 $c o t 2 α = \frac{c o t^{2} α - 1}{2 c o t α}$ D、 $(s e c α + c o s α)^{2} + (c s c α + s i n α)^{2} \geq 9$

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9. 已知 $3 \sin α + 4 \cos α = 5$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $\frac{24}{25}$

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10. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸､尖形拱门､大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段 $A B$ 和两个圆弧 $A C$ ，弧 $B C$ 围成，其中一个圆弧的圆心为 $A$ ，另一个圆弧的圆心为 $B$ ，圆 $O$ 与线段 $A B$ 及两个圆弧均相切，则 $t a n ∠ A O B$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{12}{5}$ C、 $- \frac{24}{7}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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11. 若 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = - 2$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、-4 B、 $- \frac{1}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{3}{4}$

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二、填空题

12. 已知 $t a n α = 3$ ，求 $t a n 2 α =$ ；

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13. 设sin2α=﹣sinα，α∈（ $\frac{π}{2}$ ，π），则tan2α的值是．

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14. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 $\sqrt{2} ， \sqrt{3} ， \sqrt{5} ， ⋯$ 的图形，设四边形 $A B C D$ 的对角线交于点O，若 $\vec{C O} = λ \vec{O A}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n 2 α =$ .

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16. $t a n 67.5 ° \times (1 - t a n^{2} 22.5 °) =$ .

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17. 已知A、B分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点， $| P A | = λ | P B |$ 且满足∠PBA=2∠PAB，则 $λ =$ .

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$ ，则 $B C =$ ；若D是CB延长线上一点， $∠ A B C = 2 ∠ A D B$ ，则 $\tan ∠ A D B =$ ．

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19. 已知 $\tan (α + β) = 2$ ， $\tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan β$ 的值为.

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20. 在棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $O$ 满足 $∠ B_{1} O D_{1} = 90^{\circ}$ ，则 $∠ A O C$ 的最大值为.

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21. 已知 $θ$ 是第二象限角，且 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ，则 $\tan (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4})$ 的值为．

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22. 直线 $y = 3 x + \sqrt{2}$ 与圆心为 $D$ 的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ 交于A，B两点，直线 $A D$ ， $B D$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则 $\tan (α + β) =$ .

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23. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则cosα＝， tan2α＝．

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三、解答题

24. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，点M的轨迹为曲线C.

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l ： x = 4$ 与x轴交于点D，直线AM与 $l$ 交于点N，是否存在常数λ，使得 $∠ M F D = λ ∠ N F D$ ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

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25. D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上一点，满足 $A D = 2$ ， $D B = 8$ ，记 $∠ A B C = α$ ， $∠ C A B = β$ ．

(1)、当 $C D ⊥ A B$ 时，且 $β = 2 α$ ，求CD的值；

(2)、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A C D$ 面积的最大值．

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26. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x ， \frac{3}{4})$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - 1)$ .

(1)、当 $\vec{a} / / \vec{b}$ 时，求 $\tan 2 x$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ，且 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的最大值以及对应的x的值.

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27. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，且 $\tan (2 α + β) = 3$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $α + β$ 的值.

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28. 如图，在平面四边形ABCD中， $∠ D C B = 45 °$ ， $∠ A B D = 120 °$ ， $∠ A B C = α$ ， $A D = 10 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积的最大值，

(2)、在 $△ A B D$ 的面积取得最大值的条件下，若 $B C = 5 \sqrt{2}$ ，求 $\tan \frac{α}{2}$ 的值.

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29. 已知 $t a n \frac{α}{2} = 2$ ．

(1)、求 $t a n α$ 的值﹔

(2)、求 $\frac{s i n (\frac{π}{2} - α) c o s α + c o s^{2} (π + α)}{4 s i n (2 π + α) c o s (π - α) + 2 c o s (- α) c o s α}$ 的值．

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30. 已知 $α$ ， β都是锐角， $t a n α = 3 ， s i n β = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(1)、 $c o s 2 α$ ；

(2)、求 $t a n (2 α - 2 β)$ 的值．

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31. 已知函数 $f (x) = t a n x$ ．

(1)、若 $α$ 为钝角，且 $3 f (2 α) = 4$ ，求 $s i n 2 α + 3 c o s^{2} α$ 的值；

(2)、若 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $f (α) - f (β) = \frac{1}{2 c o s α c o s β}$ ，求 $s i n α + c o s β$ 的取值范围．

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32. 已知 $f (x) = \frac{c o s (\frac{π}{2} + x) t a n (\frac{π}{2} - x) s i n (π + x)}{2 (c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n^{2} \frac{x}{2}) c o s \frac{x}{2}}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ ；

(2)、若 $α \in (0 ， π)$ 且 $f (α) = \frac{12}{13}$ ，求 $t a n α$ 的值.

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33. 已知 $2 s i n α = c o s α$ .

(1)、若 $α$ 为锐角，求 $c o s (α + \frac{π}{3})$ 的值.

(2)、求 $t a n (2 α + \frac{π}{4})$ 的值.

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34. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ， $s i n α = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $s i n (α - \frac{π}{3})$ ；

(2)、若角 $β$ 的终边上有一点 $P (7 ， 1)$ ，求 $t a n (α + 2 β)$ .

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35. 已知 $t a n 2 α = - 2 \sqrt{2}$ ，且满足 $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ，求： $\frac{2 c o s^{2} \frac{α}{2} - s i n α - 1}{\sqrt{2} s i n (\frac{π}{4} + α)}$ 的值

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