【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的余弦公式3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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2. cos² $\frac{π}{8}$ -sin² $\frac{π}{8}$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α$ =（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、- $\frac{7}{9}$ D、- $\frac{8}{9}$

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4. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x + θ) - 1$ ，则“ $θ = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知锐角 $α$ 满足 $4 s i n^{2} α + s i n 2 α = 2$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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6. 已知 $c o s α \neq 0$ ，且 $3 s i n 2 α - 4 c o s 2 α = 4$ ，则 $t a n α =$ （）

A、-2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{4}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n \frac{x}{2} c o s \frac{x}{2}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、点 $(- \frac{2 π}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，所得到的函数图象关于 $y$ 轴对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 上单调递减

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8. $\frac{s i n 80 ° + 1}{s i n^{2} 5 ° - 1} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-2 D、2

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9. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知 $s i n (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} - 2 α)$ 等于（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\pm \frac{7}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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11. 设函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示.若 $f (α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$

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12. 若 $c o s 2 α = 1 + 2 c o s α$ ，则 $s i n^{2} α + s i n^{4} α$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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13. 已知 $s i n \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s x =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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二、填空题

14. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）＝．

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15. 已知 $cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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16. 已知 $\sin (\frac{α}{2} - \frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ .

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17. 已知 $\cos (\frac{π}{2} + α) = 2 \cos (α - π)$ ，则 $\cos 2 α =$

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18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}$ ，若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} - 2 α)$ 的值为.

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为．

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20. 设 $a \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\frac{sin β}{cos β} = \frac{1 + cos 2 α}{2 c o s α + sin 2 α}$ ，则 $tan (α + 2 β + \frac{π}{4}) =$ ．

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21. 若 $\sin (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$

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22. 函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x) - 8 \cos \frac{x}{2}$ 的最小值为．

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23. 不等式 $\sin^{2} x - \cos^{2} x \geq 0$ 的解集为．

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24. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 $0.618$ ，这一数值也可以表示为 $m = 2 \sin 18 °$ .若 $m^{2} + n = 4$ ，则 $\frac{1 - 2 \cos^{2} 27 °}{m \sqrt{n}}$ ＝．（用数字作答）

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三、解答题

25. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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26. $Δ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A + \cos 2 B + 2 \sin A \sin B = 1$ $+ \cos 2 C$ .

(1)、求角C.

(2)、设D为边AB的中点， $Δ A B C$ 的面积为2，求 $C D^{2}$ 的最小值.

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{4}$ ， $∠ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于 $D$ ，设 $∠ C B D = θ$ ，且 $\sin θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\frac{B C}{A B}$ 值；

(2)、若 $S_{△ A B C} = 14$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 过原点且倾斜角为 $α (0 ⩽ α < \frac{π}{2})$ .以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 关于直线 $y = x$ 对称.
（Ⅰ）求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $l_{2}$ 过原点且倾斜角为 $α + \frac{π}{3}$ ，设直线 $l_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于O，A两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 相交于O，B两点，当 $α$ 变化时，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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29. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对应边分别为 $a, b, c$ ，
在① $\sqrt{3} \cos C (a \cos B + b \cos A) = c \sin C$

② $a \sin \frac{A + B}{2} = c \sin A$

③ ${(\sin B - \sin A)}^{2} = \sin^{2} C - \sin B \sin A$

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值.

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30. $△ A B C$ 中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2$ ， $B = - \frac{π}{3}$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ．

(1)、求边 $c$ 的值；

(2)、求 $\sin (A - C)$ 的值．

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31. 已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ， $θ \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ ．

(1)、求 $θ$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x + θ)$ ， $x \in R$ ，求函数 $f (x)$ 的单调增区间．

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32. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \sin A = a \sin (\frac{2 π}{3} - B)$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 3$ ，求 $\sin (A - C)$ 的值.

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33. 在极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 4 \cos α, \\ y = 1 + \cos 2 α \end{array}$ （ $α$ 为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.

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34. 已知函数 $f (x) = \sin x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{3}$

(1)、求 $f (π)$ 的值；

(2)、求函数 $y = | f (x) |$ 的单调递增区间.

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35. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 \sin^{2} \frac{A - B}{2} + 2 \cos^{2} \frac{A + B}{2} + 2 \cos A \cos B = 1$

(1)、求角 $C$ 的大小

(2)、若 $c = 4, | \vec{C A} + \vec{C B} | = \sqrt{38}$ ，求的周长

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