【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的余弦公式2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. $\cos^{2} \frac{π}{12} - \cos^{2} \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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3. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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4. 若 $c o s^{2} (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 已知 $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{8}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{6})$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7. 若 $t a n θ = 2$ ，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 若 $s i n α + 2 c o s α = 0$ ，则 $s i n^{2} α - s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、0 C、1 D、 $\frac{8}{5}$

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9. 若 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (π - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10. 已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ，且 $t a n α = \frac{c o s 2 β - 1}{s i n 2 β} = 2$ ，则 $c o s (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 已知 $\frac{s i n 2 α}{1 - c o s 2 α} = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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12. 已知 $0 < θ < \frac{π}{4}$ ，设 $a = t a n 2 θ$ ， $b = \frac{c o s 2 θ}{2 (1 - s i n 2 θ)}$ ， $c = s i n 2 θ$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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13. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

14. 若 $\sin x = - \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 x =$ ．

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15. 已知角 $α$ 的终边与单位圆相交于点 $P (x, - \frac{3}{5}) (x > 0)$ ，则 $\sin α =$ ， $\sqrt{1 - \cos 2 α} =$ ．

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16. 已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ ．

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17. 已知 $a \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin (\frac{π}{2} + 2 α) = \frac{1}{3}$ ，则 $tan α$ 的值为.

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18. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ ．

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19. 若 $2 \sqrt{3} \sin x + 2 \cos x = 1$ ，则 $\sin (\frac{5 π}{6} - x) \cdot \cos (2 x + \frac{π}{3}) =$ .

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20. 已知 $\sin (\frac{π}{8} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 α + \cos 2 α =$ ．

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21. 设 $x = θ$ 是函数 $f (x) = 3 \cos x + \sin x$ 的一个极值点，则 $\cos 2 θ + \sin 2 θ =$ .

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22. 若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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23. 方程 $\cos 2 x - \sin x = 0$ 在区间 $[0, π]$ 上的所有解的和为．

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24. 若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (π - 2 α) =$ .

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三、解答题

25. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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26. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $1 - c o s 2 B = c o s (A - C) + c o s B$ ，且 $\vec{A D} = \vec{D C}$ .

(1)、求证： $b^{2} = a c$ ；

(2)、当 $B D = b$ 时，求 $c o s ∠ A B C$ .

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27. 已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点 $A$ 和点 $B$ 分别从初始位置 $(1 ， 0)$ 和 $(2 ， 0)$ 处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.

(1)、当点 $A$ 运动的路程为 $\frac{2 π}{3}$ 时，求线段 $A B$ 的长度；

(2)、记 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，求 $x_{1} + y_{2}$ 的最大值.

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28. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s 2 A - \sqrt{3} s i n A + 2 = 0$ .

(1)、求A；

(2)、若 $b + c = 6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值.

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29. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D = 4$ ， $∠ A D B$ 为锐角．

(1)、若 $A C = 6 \sqrt{2}$ ，求线段 $D C$ 的长度；

(2)、若 $∠ B A D = 2 ∠ D A C$ ，求 $\sin C$ 的值．

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30. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a、b、c ，且 $2 \cos^{2} \frac{A - B}{2} \cos B -$ $\sin (A - B) \sin B + \cos (A + C)$ $= - \frac{3}{5}$

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ，求B和c.

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31. 在① $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ ，② $\sqrt{3} \sin \frac{B + C}{2} = \sin A$ ，③ $\cos 2 A + 3 \cos A = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $△ A B C$ 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b + c = 4 \sqrt{3}$ ， ▲ ？

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32. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边的边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 ${(2 \sin A - \sqrt{3} \sin B)}^{2} = 4 \sin^{2} C - \sin^{2} B$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ， $c = \sqrt{7}$ ，求 $\cos 2 (B - C)$ 的值．

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33. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a > b$ ， $a = 5$ ， $c = 6$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

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34. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = 2 \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\sin A$ ；

(3)、求 $\sin (B + 2 A)$ 的值.

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35. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos (x + \frac{π}{2}) - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，若 $f (A) = 2$ ， $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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