【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的余弦公式1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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2. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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3. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递增

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4. 已知 $\sqrt{3} s i n α - s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (\frac{π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

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5. 已知 $c o s (75 ° + \frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (30 ° - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7. “ $c o s α = \frac{1}{2}$ ”是“ $c o s 2 α = - \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A (1 ， a)$ ， $B (2 ， b)$ 且 $c o s 2 θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $| O B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. $\frac{1 - s i n^{2} 170 °}{1 - c o s 160 °} =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + c o s x$ ，且 $x \in [0 ， 2 π]$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. $1 - 2 c o s^{2} 67.5 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 曲线 $y = ln x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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13. $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $c o s 2 A < c o s 2 B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、填空题

14. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

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15. 已知 $θ \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ， $c o s 2 θ = \frac{7}{9}$ ，则 $s i n θ$ 的值为.

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16. 已知多项式 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ 满足对任意 $θ \in R ， f (c o s θ) = 2 c o s 4 θ + c o s 3 θ$ ，则 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} =$ （用数字作答）．

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角A的平分线与边 $B C$ 交于点D，且 $s i n C = 2 s i n B$ ，则 $\frac{B D}{C D} =$ ；若 $A C = 1$ ， $A D = x (\frac{2 \sqrt{2}}{3} \leq x \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ，则 $c o s A$ 的取值范围是．

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18. 已知sin $(α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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19. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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20. 已知 $c o s θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 θ$ 的值为.

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21. 若 $cos (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin 2 θ =$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于原点对称，若 $\tan α = 3$ ，则 $\cos 2 β =$ ．

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23. 已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\cos 2 α$ 的值是．

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24. 函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x - 1$ 在 $(- π ， π)$ 上的零点之和为.

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三、解答题

25. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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26. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a < c$ ， $s i n (\frac{π}{3} - A) c o s (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $a s i n A + c s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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27. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ .已知 $b + c = 2 a c o s B$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{12}$ ，求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{(b + c + a) (b + c - a)}{a c}$ 的取值范围.

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28. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 s i n^{2} \frac{B + C}{2} = 1 + s i n A$ ．

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $c$ ．
条件①： $a = 2$ ， $b = 3$ ；
条件②： $c o s B = \frac{2 \sqrt{2}}{3} ， a b = 3 \sqrt{2}$ ；

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29. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $c o s 2 A + c o s (B + C) = 0$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，且 $△ A B C$ 的面积是 $6 \sqrt{3}$ ，求AD的最小值．

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30. 在① $a c o s C + c c o s A = \frac{5}{4} b c o s B$ ， ② $5 s i n (\frac{π}{2} + B) + 5 s i n (- B) = 1$ ， ③ $B \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 B = c o s B - \frac{13}{25}$ ．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求 $t a n 2 B$ 的值；

(2)、若 $t a n A = - \frac{12}{5} ， c = \frac{11}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长与面积．

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31. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + s i n x c o s x$ ，向量 $\vec{a} = (s i n x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 c o s x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $f (x + \frac{π}{2})$ 的值；

(2)、当 $f (x) = 0$ 时，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s 2 θ$ ．

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32. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 对边的边长分别是 $a ， b ， c$ ，已知 $A + C = 2 B$ ．

(1)、若 $b = 5$ ， $c = 3$ ，求 $s i n C$ ；

(2)、若 $a + c = 2 b$ ，求证： $△ A B C$ 是等边三角形；

(3)、若 $c o s A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $c o s 2 C$ 的值．

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33. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B = \frac{2 π}{3}$ ，且 $(s i n A + s i n B) s i n C + c o s 2 C = 1$

(1)、求证： $5 a = 3 c$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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34. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .在① $\cos^{2} \frac{A - C}{2} - \cos A \cos C = \frac{3}{4}$ ；② ${(\sin A + \sin C)}^{2} = \sin^{2} B + 3 \sin A \sin C$ ；③ $2 b \cos C + c = 2 a$ 这三个条件中任选一个作为已知条件.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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35. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b = \sqrt{22}$ ， D是边AB上一点， $B D = 2 A D$ .

(1)、若CD平分 $∠ A C B$ ，求a；

(2)、若 $c o s B = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ， $C D = B D$ ，求c.

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