广东省江门市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则 $P (ξ \geq 9) =$ （）

$ξ$

8

9

10

P

0.36

a

0.33

A、0.69 B、0.67 C、0.66 D、0.64

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2. 若 $A_{n}^{2} = 42 (n \in N^{*})$ ，则 $C_{n}^{2} =$ （）

A、30 B、20 C、35 D、21

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3. 在回归分析中，下列判断正确的是（）

A、回归直线不一定经过样本点的中心 B、样本相关系数 $r \in [0 ， 1]$ C、相关系数 $| r |$ 越接近1，相关性越好 D、相关系数r越小，相关性越弱

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4. 已知 $f (x) = x^{m}$ （ $m \in Q$ ，且 $m \neq 0$ ），若 $f^{'} (- 1) = - 2$ ，则 $m =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $3$ D、 $- 3$

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5. 若直线 $x - y + 3 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 - a = 0$ 相切，则 $a =$ （）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上连续，在开区间 $(a ， b)$ 内可导，则 $(a ， b)$ 内至少存在一个点 $x_{0} \in (a ， b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (x_{0}) (b - a)$ ，其中 $x = x_{0}$ 称为函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a ， b]$ 上的“中值点”．请问函数 $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的“中值点”的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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8. 设 $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，若 $a_{n} + 2 a_{n + 1} = 0$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{2} - a_{3} = 192$ ，当 $T_{n}$ 取得最小值时，则 $n =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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二、多选题

9. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2 ， 4)$ ，则（）

A、 $P (X \leq 3) > \frac{1}{2}$ B、 $P (1 \leq X \leq \frac{3}{2}) = P (\frac{5}{2} \leq X \leq 3)$ C、 $P (0 \leq X \leq \frac{3}{2}) = P (1 \leq X \leq \frac{5}{2})$ D、X的方差为2

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10. 根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型 ${\begin{array}{l} Y = b x + a + e \\ E (e) = 0 ， D (e) = σ^{2} \end{array}$ 得到线性回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则残差模型（）

A、满足回归模型 $E (e) = 0$ 的假设 B、不满足回归模型 $E (e) = 0$ 的假设 C、满足回归模型 $D (e) = σ^{2}$ 的假设 D、不满足回归模型 $D (e) = σ^{2}$ 的假设

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 B、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(0 ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 的极值小值为2 D、 $f (x)$ 的极大值为2

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（）

A、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = 1$ B、弦AB的长度最小值为l C、以AF为直径的圆与y轴相切 D、以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

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三、填空题

13. 函数 $y = \frac{\ln x}{x}$ 的最大值为．

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14. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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15. 已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为

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16. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则 $D (X) =$ ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足： $Y = 10 X + 300$ ，则 $D (Y) =$

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 6$ ， $a_{4} = 20$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $b_{2}$ ， $b_{4}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ D C$ ．

(1)、求证； $A D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A D = D C = D P = 2$ ， $∠ P D C = 12 0^{∘}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值．

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19. 体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想．为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

附表：

$α$	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	6.635	7.879	10.828

(1)、为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如下列联表：

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动
男学生	60	40
女学生	20	80

依据小概率值 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

(2)、在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：

控球队员	A		B		C
接球队员	B	C	A	C	A	B
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

若传球3次，记B队员控球次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及均值．

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20. 台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美.2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：

x	2	3	4	6	8	10	13
y	13	22	31	42	50	56	58

根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：

模型①： $\hat{y} = 4.1 x + 11.8$ ；模型②： $\hat{y} = \hat{b} \sqrt{x} + \hat{a}$

线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；

模型的决定系数： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ．

参考数据：令 $t = \sqrt{x}$ ，则 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ ，且 $\bar{t} \approx 2.46$ ， $\bar{y} \approx 38.86$ ， $\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) \approx 80.97$ ， $\sum_{i = 1}^{7} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \approx 3.78$ ；模型①中 $\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 182.42$ ；模型②中 $\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 74.12$ ．

(1)、求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；

(2)、比较模型①，②的决定系数

R^{2}

的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ，其中 $a \geq 1$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且与双曲线 $y^{2} - x^{2} = \frac{1}{2}$ 有相同的焦距．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D ， E$ 两点（其中点 $D$ 在 $x$ 轴上方），求 $△ A E F$ 与 $△ B D F$ 的面积之比的取值范围．

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$ξ$	8	9	10
P	0.36	a	0.33