江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末迎考数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ ，若 $\frac{a}{i^{2023}} + 2 = b + i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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2. 从某班

57

名同学中选出

4

人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将

57

名同学按

01

、

02

、

⋯

、

57

进行编号，然后从随机数表第

1

行的第

3

列和第

4

列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第

4

个同学的编号为（）

0347	4373	8636	9647	3661	4698	6371	6297
7424	6292	4281	1457	2042	5332	3732	1676

（注：表中的数据为随机数表第 $1$ 行和第 $2$ 行）

A、

36

B、

42

C、

46

D、

47

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3. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ， $m$ 与 $n$ 相交，则 $α / / β$

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4. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4， $x$ ， 7，8（其中 $x \neq 7$ ），若该组数据的中位数是极差的 $\frac{5}{6}$ ，则该组数据的60%分位数是（）

A、4 B、4.5 C、5 D、6

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5. 已知 $s i n (\frac{4 π}{3} - α) = - \frac{2}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{4 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{21}{25}$ B、 $- \frac{17}{25}$ C、 $\frac{17}{25}$ D、 $\frac{21}{25}$

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6. 已知事件 $A$ ， $B$ ，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.15$ ，如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A B) = p_{1}$ ，如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (A \bar{B}) = p_{2}$ ，则 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 分别为（）

A、 $p_{1} = 0$ ， $p_{2} = 0.51$ B、 $p_{1} = 0.75$ ， $p_{2} = 0.51$ C、 $p_{1} = 0$ ， $p_{2} = 0.45$ D、 $p_{1} = 0.75$ ， $p_{2} = 0.45$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ 和边 $A B$ 上， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ 和 $B A$ 的三等分点，点 $D$ 靠近点 $B$ ，点 $E$ 靠近点 $A$ ， $A D$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B P} =$ （）

A、 $- \frac{1}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{7} \vec{a} + \frac{3}{7} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{7} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$

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8. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 恰好构成三棱锥 $P - A B C$ ，若 $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C P$ ，且 $B C = 1$ ， $C P = 2$ ， $A B = 3$ ， $A P = \sqrt{14}$ ，则该鞠的表面积为（）

A、 $\frac{7}{2} π$ B、 $7 π$ C、 $14 π$ D、 $28 π$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 2$ C、当 $x < 2$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $x = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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10. 为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛（满分 $50$ 分），对全校参赛的 $1000$ 名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照 $[0 ， 10)$ 、 $[10 ， 20)$ 、 $[20 ， 30)$ 、 $[30 ， 40)$ 、 $[40 ， 50]$ 分成 $5$ 组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.35$ B、得分在区间 $[10 ， 20)$ 内的学生人数为 $200$ C、该校学生法规竞赛成绩的中位数大于 $20$ D、估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间 $[30 ， 40)$ 内

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11. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，下列叙述正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、已知 $a = 2$ ， $A = 60 °$ ，则 $\frac{b + 2 c}{s i n B + 2 s i n C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ D、若 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 3 ： 4$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，下列判断中正确的是（）

A、平面 $C_{1} B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $A_{1} P ⊥ D B_{1}$ C、 $V_{P - A C D_{1}} = V_{A_{1} - A C D_{1}}$ D、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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三、填空题

13. 从 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ 这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为.

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14. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 的斜二测直观图为平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .已知 $A^{'} B^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，高 $A A_{1} = 5$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，用平面 $M N B D$ 截该长方体，则剩余的三棱台的体积为.

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15. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“贷宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从 $A$ 到 $D$ 修建一条隧道，工程队从 $A$ 出发向正东行 $10 \sqrt{3} k m$ 到达 $B$ ，然后从 $B$ 向南偏西 $45 °$ 方向行了一段距离到达 $C$ ，再从 $C$ 向北偏西 $75 °$ 方向行了 $4 \sqrt{2} k m$ 到达 $D$ ，已知 $C$ 在 $A$ 南偏东 $15 °$ 方向上，则 $A$ 到 $D$ 修建隧道的距离为 $k m$ .

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16. 已知我国某省二、三、四线城市数量之比为 $1 ： 3 ： 6$ ． $2022$ 年 $3$ 月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为 $0.8$ 万元/平方米，方差为 $11$ ．其中三、四线城市的房产均价分别为 $1$ 万元/平方米， $0.5$ 万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为 $10 ， 8$ ，则二线城市房产均价为万元/平方米，二线城市房价的方差为

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四、解答题

17. 已知复数 $z = - m^{2} + m + 2 + (m^{2} + m) i (m \in R)$ 为纯虚数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $\frac{1}{z_{1}} = \frac{10}{z + 2} - \frac{z}{3}$ ，求 $| z_{1} |$ .

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18. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5.

(1)、甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率；

(2)、甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率；

(3)、甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率.

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19. 在钝角三角形 $A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 3$ ， $S_{△ B A C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求 $\vec{A D} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、已知 $P$ ， $A$ ， $C$ 三点共线，若 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C_{1} = B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}^{2} + B_{1} C_{1}^{2} = A_{1} B_{1}^{2}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 A_{1} A$ ， $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $C A M ⊥$ 平面 $B C_{1} M$ ；

(2)、若 $A_{1} C_{1} = 2$ ，求点 $M$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离.

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{b}{s i n A + s i n C} = \frac{a - c}{s i n B} + \frac{c}{s i n A + s i n C}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 b c o s B$ ， $a = 3$ ，求 $B C$ 边上中线的长.

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22. 已知直角梯形 $B Q P C$ 中， $∠ C B Q = 90 °$ ， $B Q / / C P$ ， $B C = 1$ ， $B Q = 2$ ， $C P = 3$ ， $A$ 为 $B Q$ 的中点， $C D = \frac{1}{3} C P$ ，如图，将四边形 $A B C D$ 沿 $A D$ 向上翻折，使得平面 $A B C D$ $⊥$ 平面 $A D P Q$ .

(1)、在 $P D$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $C H / /$ 平面 $B D Q$ ？

(2)、求二面角 $B - P Q - C$ 的余弦值.

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