湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z的虚部小于0，且 $z^{2} = - 1$ ，则 $z (1 - z) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 某学校高一年级、高二年级、高三年级分别有学生800人、950人、1050人，学校为了调研学情，用分层抽样的方法从中抽取56人，则高三年级应该抽取的人数为（）

A、21 B、19 C、16 D、18

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3. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，若 $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{q} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则下列与 $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ 构成一组空间基底的是（）

A、 $\vec{r} = 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$ B、 $\vec{r} = \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{r} = \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{r} = 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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4. 令圆锥的底面半径为r，母线长为l，若 $l = 3 r$ ，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 的中点，则直线 $D_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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6. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“圆罂测雨”法是下雨时用一个由上下两个等高的圆台吻合而成的圆罂器皿收集雨水，已知数据如图（注：1尺＝10寸），平地的降雨量的近似值是（）

注意： $9.75 \times 21.75 \approx 212$ ， $\frac{772}{56.25} \approx 13.7$

A、6寸 B、9寸 C、12寸 D、18寸

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7. 在三角形 $A B C$ 中，若D，E分别为边 $C A$ ， $C B$ 上的点，且 $A C = 5 A D$ ， $B C = 3 B E$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点O，则以下结论错误的是（）

A、 $\frac{S_{△ C D E}}{S_{四边形 A B E D}} = \frac{8}{7}$ B、 $\frac{E O}{A O} = \frac{4}{3}$ C、 $\frac{D O}{B O} = \frac{6}{13}$ D、 $\vec{C O} = \frac{4}{7} \vec{C A} + \frac{2}{7} \vec{C B}$

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8. 一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{76}{81}$ B、 $\frac{77}{81}$ C、 $\frac{40}{81}$ D、 $\frac{4}{81}$

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二、多选题

9. 若复数z满足： $z (1 - i) = | z | (1 + i)$ ，则（）

A、z的实部为0 B、z的虚部为任意一个实数 C、 $z + \bar{z} = 0$ D、 $z \bar{z} > 0$

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10. 铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（）

A、铁棍的长度的极差为 $0.04 c m$ B、铁棍的长度的众数为 $3.62 c m$ C、铁棍的长度的中位数为 $3.625 c m$ D、铁棍的长度的第80百分位数为 $3.63 c m$

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11. 在三角形 $A B C$ 中，令 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = {\vec{e}}_{1}$ ， $\vec{a} - 2 b = {\vec{e}}_{2}$ ， $| {\vec{e}}_{1} | = | {\vec{e}}_{2} | = 1$ ， ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{a} = \frac{2 {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}}{3}$ ， $\vec{b} = \frac{{\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}}{3}$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、三角形 $A B C$ 的 $A B$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{7}}{6}$

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = B C = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， P，Q分别为 $A_{1} D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，S为棱 $B C$ 的三等分点， $B S = 1$ ，过P，Q，S三点作一个平面 $α$ 与 $C_{1} C$ ， $A B$ ， $A_{1} A$ 分别交于点R，M，N，即得到一个截面 $P Q R S M N$ ，则（）

A、 $P Q ∥ M S$ B、 $A N = C R$ C、 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正切值为 $\frac{4}{7}$ D、点A到截面 $α$ 的距离为1

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三、填空题

13. 某大学天文台随机调查了该校100位天文爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图，则估计该校100名天文爱好者的平均岁数为.

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14. 若 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上投影向量的坐标为.

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15. 从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则 $a + b > a b$ 的概率为．

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16. 在三棱锥 $P - Q R S$ 中， $P Q = R S = P R = Q S = \sqrt{15}$ ， $P S = Q R = 3 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $P - Q R S$ 外接球的体积与三棱锥 $P - Q R S$ 的体积之比为.

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四、解答题

17. 在复平面 $x O y$ 内，已知 $\vec{O A}$ 对应的复数 $z_{1} = (1 + 3 i) (1 - 2 i)$ ， $\vec{O B}$ 对应的复数 $z_{2} = \frac{- 1 + 3 i}{1 + i}$ .

(1)、判断： $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ 是否成立？并说明理由；

(2)、若 $\vec{O P}$ 对应的复数为z，且 $| z | \leq | \vec{A B} |$ ，求点P所在区域的面积.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A D$ ， E，F分别为 $P D$ ， $P B$ 的中点，连接 $A E$ ， $E F$ .

(1)、证明：当点G为 $P C$ 上一点，且不与点P、点C重合时， $E F / /$ 平面 $B D G$ ；

(2)、证明：当 $C D ⊥ A E$ 时， $A E ⊥ P C$ .

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19. 某公司最近10年的盈利依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ （单位：万元）， $\bar{x}$ ， $S^{2}$ 分别表示平均值与方差.

(1)、若 $x_{1} = x_{4} = x_{7} = x_{10} = 8$ ， $x_{2} = x_{5} = x_{8} = 7$ ， $x_{3} = x_{6} = x_{9} = 9$ ，求 $\bar{x}$ ， $S^{2}$ 的值；

(2)、若 $\bar{x} = 9$ ， $S^{2} = 0.5$ ，求 $x_{i}^{2} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 的平均值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若点D是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 2$ ， $B D = 1$ ， $b^{2} + 2 c^{2} = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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21. 在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中，底面棱长为 $2$ ，高为 $2 \sqrt{3}$ ， $P ， Q$ 分别为 $F F_{1}$ ， $C D$ 的中点，连接 $P Q ， A_{1} B ， A_{1} C ， F_{1} D$ .

(1)、求 $P Q ， A_{1} B$ 所成角 $α$ 的余弦值；

(2)、过点 $B$ 作直线 $l / / P Q$ ，设点 $R$ 是直线 $l$ 上一点，记平面 $A_{1} C D F_{1}$ 与平面 $E F R$ 所成角为 $β$ ，求 $| c o s β |$ 的取值范围.

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22. 某学校组织人工智能知识竞赛，在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的4个问题中随机抽取3题作答，每答对1题得20分，答错得0分；第二轮从B类分值分别为10，20，30的3个问题中随机抽取2题作答，每答对1题该题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在A类的4个问题中，甲每个问题答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙只能答对3个问题；在B类3个分值分别为10，20，30的问题中，甲答对的概率分别为1， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，乙答对的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ .甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.

(1)、分别求甲、乙在第一轮得最高分的概率；

(2)、谁晋级复赛的概率更大？请说明理由.

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