河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 1$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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2. 已知随机变量 $X ~ N (3 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > 5) = 0.3$ ，则 $P (1 < X < 5) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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3. 已知两条直线 $l_{1}$ ： $x + a^{2} y + 6 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a - 2) x + 3 a y + 2 a = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、-1或0或3 B、-1或3 C、0或3 D、-1或0

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4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 已知随机变量X的分布列为：

X

1

2

3

4

P

0.1

0.2

0.3

0.4

则 $D (2 X + 7) =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、9

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6. 已知直线 $y = x - 2$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 曲线 $y = \frac{s i n x}{x}$ 在点 $M (π ， 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $x + π y - π = 0$ B、 $x - π y - π = 0$ C、 $π x + y - π = 0$ D、 $π x - y - π = 0$

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8. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（）

A、0.8 B、0.7 C、0.6 D、0.45

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9. 已知点P为直线 $y = x + 1$ 上的一点，M，N分别为圆 $C_{1}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上的点，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值为（）

A、5 B、3 C、2 D、1

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10. 平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（）

A、14 B、48 C、91 D、420

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11. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ ，点 $P$ 在双曲线的右支上， $F_{2} P$ 的延长线与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $△ A P F_{1}$ 的内切圆在边 $P F_{1}$ 上的切点为 $Q$ ，若 $| P Q | = \sqrt{3}$ ，则此双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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12. 已知 $f^{'} (x)$ 是定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数，对于任意的实数x，都有 $f (x) = \frac{f (- x)}{e^{2 x}}$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ．若 $f (a + 1) \geq e^{2 a - 1} f (3 a)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$ B、 $[- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] ∪ [\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{4}] ∪ [\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．

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14. 投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则 $E (X) =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ ．若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 81$ ，则n的最大值为．

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D A} + μ \vec{D C}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，现有如下四个命题：
①存在 $λ$ ， $μ$ ，使得 $B_{1} P ∥$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

②当 $λ = μ = 1$ 时， $D_{1} P ⊥$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

③当 $λ = μ$ 时， $C_{1} P$ 与平面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 所成角的最小值为 $\frac{π}{4}$ ；

④若点P到直线 $B B_{1}$ 与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹是线段．

其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 在 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中含 $\frac{1}{x^{2}}$ 的项．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = \frac{2}{a_{3}} ， S_{6} = 63$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的 $n \in N^{*} ， b_{n}$ 是 $l o g_{2} a_{n}$ 和 $l o g_{2} a_{n + 1}$ 的等差中项，求数列 ${{(- 1)}^{n} {b_{n}}^{2}}$ 的前2n项和.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A P = A B = A D = 1$ ，且直线PB与CD所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求BC的长；

(2)、求二面角 $D - P B - C$ 的余弦值．

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20. 已知圆S： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 20 = 0$ ，点P是圆S上的动点，T是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点，Q为PT的中点，过Q作 $Q G ⊥ P T$ 交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过 $S (- 2 ， 0)$ 的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．

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21. 第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：

体验店	A	B	C	D	E	F	G
广告支出/万元	3	4	6	8	11	15	16
销售额/万元	6	10	15	17	23	38	45

对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．

附：参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 727$ ， $\sum_{i = 1}^{7} y_{i}^{2} = 4648$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 1827$ ， $\sqrt{14} \approx 3.74$ ， $\sqrt{10} \approx 3.17$ ， $f' (x) = 0$ ，

相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ，

在线性回归方程中 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828

(1)、请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值

α = 0.001

的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；

性别	是否体验汉服		合计
性别	体验汉服	没有体验汉服	合计
女	180		280
男		80
合计			400

(2)、设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若

| r | > 0.75

，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

(3)、建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + l n x$ （a为常数）．

(1)、若函数 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），求 $f (x_{1}) - f (x_{2})$ 的范围．

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X	1	2	3	4
P	0.1	0.2	0.3	0.4