河南省2022-2023学年高一下学期6月“双新”大联考数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = a + 2 a i$ （ $a \in R$ ）在复平面内对应的点N位于第一象限，则 $t a n ∠ N O x =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 不共线的平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 ${\overset{⇀}{b}}^{2} = 2 {\overset{⇀}{a}}^{2}$ ， $(\overset{⇀}{a} + b) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（）

A、144 B、145 C、148 D、153

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4. 设 $α ， β$ 为两个不同的平面， $l ， m$ 为两条不同的直线，且 $l \subset α ， m \subset β$ ，则“ $α / / β$ ”是“ $l / / m$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b， $ξ = a + b$ ，则（）

A、事件“ $ξ$ 是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件 B、事件“ $ξ = 2$ ”发生的概率为 $\frac{1}{21}$ C、事件“ $ξ = 2$ ”与“ $ξ \neq 5$ ”互为互斥事件 D、事件“ $ξ > 8$ 且 $a b < 32$ ”的概率为 $\frac{1}{4}$

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6. 几何定理：以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（称为拿破仑三角形）的顶点．在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{π}{6}$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，现以其三边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 $A ′$ ， $B ′$ ， $C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. $△ A B C$ 中， $B = \frac{2 π}{3}$ ， $B M$ 是角 $B$ 的平分线，且 $B M = 4$ ，则 $3 B A + B C$ 的最小值为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{3}$ B、 $16 + 8 \sqrt{3}$ C、 $12 + 8 \sqrt{3}$ · D、 $12 + 16 \sqrt{3}$

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8. 在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 A D = 2$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 均为等边三角形， $E F ∥ C D$ ， $E F = 3$ ，则该五面体的外接球的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{38}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{19}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{38}}{2}$

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二、多选题

9. 已知 $\bar{z}$ 是复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（）

A、 $z^{2} = {| z |}^{2}$ B、 $z + \bar{z}$ 一定是实数 C、若 $z^{2}$ 是纯虚数，则z的实部和虚部绝对值相等 D、 $i^{2023} \cdot z = 2 + i$ ，则 $| \bar{z} | = \sqrt{6}$

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10. 2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番．为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：

则下面结论中正确的是（）

A、新农村建设后，种植收入增加了14% B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C、新农村建设后，养殖收入持平 D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

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三、单选题

11. 在一次考试中，小明同学将比较难的第8题、第12题、第16题留到最后做，做每道题的结果相互独立．假设小明同学做对第8、12、16题的概率从小到大依次为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ $(p_{1} > 0)$ ，做这三道题的次序随机，小明连对两题的概率为p，则（）

A、p与先做哪道题次序有关 B、第8题定为次序2，p最大 C、第12题定为次序2，p最大 D、第16题定为次序2，p最大

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四、多选题

12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 $90 °$ ， $∠ A D C = ∠ P A B = 90 °$ ，二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ，则（）

A、四边形ABCD为直角梯形 B、在平面PAB内，使得直线 $C M$ $∥$ 平面PBE的点M有无数个 C、 $P A = 2$ D、直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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五、填空题

13. 设M为 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{C M} = x \vec{C B} + y \vec{C A}$ ，则 $x + y =$ ．

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14. 一组数据由8个数组成，将其中一个数由6改为4，另一个数由10改为12，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = 3 B C$ ，则 $c o s ∠ D A B =$ ．

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16. 某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序．则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高一获胜的概率为．

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六、解答题

17. 后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按 $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ 分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)、求直方图中t的值：

(2)、根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；

(3)、已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b c = a^{2} - b^{2} - c^{2}$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、过点A作 $A D ⊥ A B$ ，交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = D C$ ，求 $A D$ ．

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B B_{1}$ 为等边三角形， $A B = B C = 2$ ， $C A = C B_{1}$ ， $C A ⊥ C B_{1}$ ．

(1)、证明：平面 $C A B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 和平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值．

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20. 大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，小李每轮答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)、求两人在两轮活动中都答对的概率；

(2)、求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；

(3)、求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．

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21. 已知四边形ABCD为菱形， $A C = 4$ ， $∠ D A B = \frac{2 π}{3}$ ，沿着AC将它折成如图所示的直二面角 $D - A C - B$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{4} (\vec{A D} + \vec{C D})$

(1)、求CE；

(2)、求平面CDE与平面ABC所成的二面角的余弦值．

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $2 b c o s C = 2 a - c$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，且AC边上的中线长为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、 $△ A B C$ 的外心O、重点G、垂心H依次位于同一直线上，这条直线叫欧拉线，证明：
（i） $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

（ii） $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$ ．

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