湖南省名校联考联合体2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - x^{2} + x + 6 \geq 0}$ ， $N = {x | y = \sqrt{l n x - 1}}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $[- 2 ， e]$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $[e ， 3]$ D、 $[e ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ，且 $\bar{z} + x z + y = 0$ ，其中 $x$ ， $y$ 为实数，则（）

A、 $x = 1$ ， $y = - 2$ B、 $x = - 1$ ， $y = - 2$ C、 $x = 1$ ， $y = 2$ D、 $x = - 1$ ， $y = 2$

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3. 已知非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 1$ ， $| \vec{n} | = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $| \vec{m} + 2 \vec{n} | = 2$ ，则 $⟨ \vec{m} ， \vec{n} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1} = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - N B_{1} D_{1}$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、6

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5. 某学校在高考模拟考试座位的排定过程中，有来自 $A$ 班的4名学生和来自 $B$ 班的4名学生，恰好排在五行八座（每个考室5行*8座 $= 40$ 人）中的第二行，则来自同一班级的4名学生互不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{30}$ B、 $\frac{1}{35}$ C、 $\frac{3}{35}$ D、 $\frac{1}{10}$

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6. 已知 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为2.若存在 $m > 0$ ，使得对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + m) = m f (- x)$ ，则 $φ$ 为（）

A、 $- \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x}}$ ， $g (x) = x f (x)$ ，若 $a = g (l n 3)$ ， $b = g (0 . 5^{\frac{1}{3}})$ ， $c = g (- \frac{3}{2})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是表面积为 $20 π$ 的球面上四点， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则线段 $C D$ 长度的取值范围为（）

A、 $[3 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{10} ， 2 \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{10} ， 3 \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{5}]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 12 x + t (t \in R)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 可能是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上单调递减 C、当 $f (x)$ 的极大值为17时， $t = 1$ D、当 $t = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $[- 15 ， 17]$

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10. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2 p x^{2}$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，则（）

A、抛物线为 $y = 4 x^{2}$ B、若 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 为 $C$ 上的动点，则 $| B A | + | B F |$ 的最小值为4 C、直线 $y = k x + 1$ 与抛物线 $C$ 相交所得弦长最短为4 D、若抛物线准线与 $y$ 轴交于点 $N$ ，点 $M$ 是抛物线上不同于其顶点的任意一点， $t | M N | = | M F |$ ， $t \in R$ ，则 $t$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则以下结论正确的是（）

A、若 $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点），则点 $P$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为定值 B、正方形底面 $A B C D$ 内存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、若点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上运动，点 $Q$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 满足 $P Q ⊥$ $A C_{1}$ ，则点 $P$ 的轨迹的周长为 $6 \sqrt{2}$ D、当点 $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 中点时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球半径 $R = \frac{\sqrt{11}}{2}$

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12. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 的函数 $f (x) = \sqrt{e^{2 x} + x^{2} - 4 x - 2 e^{x} + 5} + \sqrt{e^{2 x} + x^{2} + 2 e x - 2 e^{x + 1} + 2 e^{2}}$ 存在 $x_{0} \in (\frac{k}{4} ， \frac{k + 2}{4})$ 使 $f (x_{0})$ 为函数 $y = f (x)$ 的最小值，其中 $k \in N$ ，则 $k$ 的值可以为（附： $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ， $e \approx 2.72$ ， $e^{3} \approx 20$ ）（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、填空题

13. 在 $(1 + \frac{1}{x}) {(\sqrt{x} - 1)}^{6}$ 的展开式中常数项等于.

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14. 若一直线与曲线 $y = l n x$ 和曲线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相切于同一点 $M$ ，则 $p$ 的值为.

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15. 有穷等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，若 $a_{2023} = 3$ ，则 $\frac{2}{a_{2000}} + \frac{1}{2 a_{2046}}$ 的最小值是.

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16. 如图，已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与过其焦点的圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点，直线 $A D$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，直线 $C E$ 与双曲线 $C_{1}$ 交于点 $F$ ，记直线 $A C$ ， $A F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \cdot k_{2} = 3$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n} + n + 2$ .

(1)、证明 ${\frac{a_{n} + 1}{n}}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{n} + 1}{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{2 n} b_{2 n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数

f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - π < φ < 0)

在一个周期内一系列对应的值如下表：

$x$	…	$- \frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{11}{12} π$	…
$f (x)$	…	$- 2$	0	2	$\sqrt{3}$	0	$- 2$	…

(1)、求

f (x)

的解析式；

(2)、若在锐角

△ A B C

中，

f (A) = \sqrt{3}

，角

A

所对的边

a = \sqrt{3}

，求

△ A B C

面积的取值范围.

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19. 一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，它们之间相互不影响，当系统中有不少于 $\frac{2}{3}$ 的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作.

(1)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，求一天内制冰厂不亏本的概率；

(2)、若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：
方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元.
方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为 $a$ 元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？

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20. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是边长 $D C = 4$ ， $A D = 3$ 的矩形，点 $M$ 在上底面圆 $O_{1}$ 内，且 $O_{1} M = 1$ （ $A$ ， $B$ ， $M$ 三点不在一条直线上）.下底面圆 $O_{2}$ 的一条弦 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，其中 $D E = D F = 2$ ，平面 $A E F ∩$ 平面 $A B M = l$ .

(1)、证明： $l ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若二面角 $M - E F - A$ 的正切值为 $\frac{3}{4}$ ，求 $D M$ 的长.

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21. 已知 $g (x) = \frac{m x}{e^{x}} + s i n x$ ，且 $y = g (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = 2 x - 3$ 平行.

(1)、求 $m$ 的值，并求此切线方程；

(2)、若 $f (x) = g (x) - s i n x$ ，且 $f (x) = a$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{2} -$ $x_{1} > 2 - 2 a e$

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22. 已知直线 $l_{1}$ 过点 $F_{1} (- \sqrt{2} ， 0)$ 且与圆 $F_{2}$ ： ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 32$ 交于 $B$ ， $C$ 两点，过 $F_{1} C$ 的中点 $D$ 作垂直于 $B C$ 的直线交 $F_{2} C$ 于点 $P$ ，记 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程

(2)、设曲线 $Γ$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 关于直线 $y = - x$ 的对称点分别为 $E ， F$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 与曲线 $Γ$ 交于 $M ， N$ 两点，直线 $A_{1} M ， A_{2} N$ 相交于点 $Q$ .请判断 $△ Q E F$ 的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

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