江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 5} > 0}$ ， $B = {x | x < 4}$ ，则 $B ∩ ∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | x < 4}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | x \leq - 1}$

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2. 已知 $\frac{z}{1 + i} = \frac{1 + i}{1 - i}$ （i为虚数单位），则复数 $z$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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3. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面中两个不共线的向量，若 $\vec{a} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + μ \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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4. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ，公比为 $q$ ，则“ $q > 1$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} [x (a - x)]$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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6. 五张卡片上分别写有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{7}$

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7. 故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体 $A B C D E F$ 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面 $A B C D$ 为矩形， $E F$ ∥底面 $A B C D$ ， $A B = 2 B C = 2 E F = 4$ ， $△ A D E$ 与 $△ B C F$ 是全等的等边三角形，则该五面体 $A B C D E F$ 的体积为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{10 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 直线 $l$ 过圆 $M ： {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心，且与圆相交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 右支上一个动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 某班 $50$ 名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成 $[50 ， 60)$ 、 $[60 ， 70)$ 、 $[70 ， 80)$ 、 $[80 ， 90)$ 、 $[90 ， 100]$ 五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $a$ 的值为 $0.015$ B、这 $50$ 名同学成绩的平均数在 $60$ 与 $70$ 之间 C、这 $50$ 名同学成绩的众数是 $75$ D、估计这 $50$ 名同学成绩的 $75$ 百分位数为 $85$

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10. 下列说法正确的是（）

A、已知命题 $P$ ：任意 $x ∈ R$ ， $| x | \geq x$ ，则命题 $P$ 的否定为：存在 $x ∈ R$ ， $| x | < x$ B、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，则 $a - b + c > 0$ C、如果 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 3 y + x y = 9$ ，那么 $x + 3 y$ 的最小值为6 D、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2

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11. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) + c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ C、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x + \frac{π}{6})$ D、若 $f (x)$ 在 $(0 ， a)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{π}{2}]$

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12. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C$ 上的两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、抛物线 $C$ 的准线方程为 $x = - 2$ B、若 $| A F | = 4$ ，则 $△ A O F$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、若直线 $A B$ 过焦点 $F$ ，且 $A B = \frac{16}{3}$ ，则 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ D、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $| O A | \cdot | O B | \geq 32$

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三、填空题

13. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $1 + s i n 2 α =$ ．

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14. $(x - 2) {(x + 1)}^{6}$ 展开式中， $x^{3}$ 的系数为．（以数字形式作答）．

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15. 曲线 $f (x) = x l n x - x^{2}$ 在点 $(1 ， - 1)$ 处的切线方程为.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等边三角形，且 $P A = A B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.

(1)、每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；

(2)、一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的数学期望.

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18. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足： $a c c o s A + a^{2} (c o s C - 1) = b^{2} - c^{2}$ ，

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $a - b$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 a x - e^{x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \leq 4 a^{2} - 4 a$ ．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是公差为 $2$ 的等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} - b_{n - 1} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $b_{1} = 3$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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21. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右顶点和上顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{A B} = - \frac{1}{2} b^{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 3$ ， $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，过点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线，交圆 $O$ 于点 $Q$ ，若 $O P$ 与 $O Q$ 斜率都存在，求证： $k_{O P} \cdot k_{O Q}$ 为定值．

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