湖北省十堰市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{3 + i}{2 + i}$ 的实部为（）

A、1 B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3 λ)$ ， $\vec{b} = (2 ， 7 - λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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3. 端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还要给孩子们佩戴香囊.某商家销售的香囊有四种不同的形状，其中圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个.现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，则抽出的桃形香囊的个数为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， $C^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ 轴， $C^{'} D^{'} / / y^{'}$ 轴， $C^{'} B^{'} = 1$ ， $A^{'} B^{'} = 5$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的原图形的面积为（）

A、 $5$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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5. 将函数 $f (x) = 3 c o s (6 x - \frac{π}{3})$ 图象上所有的点都向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $3$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $3 s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ B、 $3 s i n (x + \frac{π}{3})$ C、 $3 c o s (2 x - \frac{π}{4})$ D、 $3 c o s (\frac{1}{6} x - \frac{2 π}{3})$

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6. 已知一个底面半径为2，高为 $2 \sqrt{3}$ 的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{14 π}{3}$ C、 $3 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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7. 已知 $m > \frac{3}{2}$ ，在钝角 $△ A B C$ 中， $A B = 3 m$ ， $B C = 5 m$ ， $A C = m + 6$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2} ， 6)$ B、 $(2 ， 6)$ C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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8. 武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点 $P$ 为主峰天柱峰的最高点， $M ， N$ 为观测点，且 $P ， M ， N$ 在同一水平面上的投影分别为 $Q ， E ， F$ ， $∠ Q E F = 3 0^{∘}$ ， $∠ Q F E = 4 5^{∘}$ ，由点 $M$ 测得点 $N$ 的仰角为 $1 5^{∘}$ ， $N F - M E = 200$ 米，由点 $N$ 测得点 $P$ 的仰角为 $α$ 且 $t a n α = \sqrt{2}$ ，则 $P ， M$ 两点到水平面 $Q E F$ 的高度差约为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、684米 B、732米 C、746米 D、750米

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二、多选题

9. 已知复数 $z = (2 + i) i$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 1 + 2 i$ B、 $| z | = \sqrt{5}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限 D、 $z + 1$ 为纯虚数

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10. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了 $10 %$ ， $2023$ 届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（）

A、该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[30 ， 60)$ 内的学生人数占 $70 %$ B、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[60 ， 80]$ 内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在 $[50 ， 60)$ 内 D、相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{24} ， \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2} ， 3]$

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12. 上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设矩形 $A B C D$ 和 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的中心分别为 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ ，若 $O_{1} O_{2} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O_{1} O_{2} = 6$ ， $A B = 10$ ， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $A_{1} D_{1} = 4$ ， $A B / / A_{1} B_{1}$ ， $B C / / B_{1} C_{1}$ ， $A D / / A_{1} D_{1}$ ， $C D / / C_{1} D_{1}$ ，则（）

A、这个六面体是棱台 B、该六面体的外接球体积是 $288 π$ C、直线 $A C$ 与 $A_{1} C_{1}$ 异面 D、二面角 $A - B C - C_{1}$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{37}}{37}$

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三、填空题

13. $\frac{t a n 22 . 5^{∘}}{1 + t a n^{2} 22 . 5^{∘}} =$ .

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14. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6} ， | \vec{a} | = 2 \sqrt{3} ， \vec{a} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ .若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $μ \vec{B C}$ ，其中 $μ \in [\frac{3}{5} ， \frac{4}{5}]$ ，则 $c o s ∠ A O C$ 的取值范围为.

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16. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D B = ∠ A B C = \frac{π}{2} ， B D = B C = 4$ ，沿对角线 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使平面 $A D B ⊥$ 平面 $B D C$ ，连接 $A C$ ，得到三棱锥 $A - B C D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积的最小值为.

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四、解答题

17. 已知 $c o s (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5} ， s i n (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13} ， α \in (\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}) ， β \in (0 ， \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ ；

(2)、求 $c o s (α + β)$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边， $s i n^{2} A + s i n A s i n C + s i n^{2} C + c o s^{2} B = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 5 ， b = 7$ ，求 $s i n C$ .

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A = P B = A C = B C = 4 ， P C = 4 \sqrt{2}$ ，且 $∠ A P B = 6 0^{∘}$ ， $E ， F ， M$ 分别为 $A P ， A C ， B P$ 的中点， $N$ 为 $F C$ 的中点.

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $E B F$ ；

(2)、求异面直线 $P C$ 与 $E B$ 所成角的余弦值.

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20. 为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位： $t$ ），将数据按照 $[4.5 ， 5.5)$ ， $[5.5 ， 6.5)$ ， $[6.5 ， 7.5)$ ， $[7.5 ， 8.5)$ ， $[8.5 ， 9.5)$ ， $[9.5 ， 10.5]$ 分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.

(1)、在这500个家庭中月均用水量在 $[7.5 ， 8.5)$ 内的家庭有多少户？

(2)、求 $a ， b$ 的值；

(3)、估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为 $A D ， B C$ 的中点，以 $D F$ 为折痕把 $△ D F C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P F ⊥ B F$ .

(1)、证明：平面 $P D F ⊥$ 平面 $P D E$ ；

(2)、若 $D F = 2 \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $P - E D F$ 的体积的最大值.
（提示： $\forall a ， b ， c > 0$ ， $\sqrt[3]{a b c} \leq \frac{a + b + c}{3}$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时，等号成立）

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22. 已知 $f (x) ， g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且满足 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{2})$ .

(1)、设 $f (x) = | s i n x | - c o s x$ ，若 $x \in [0 ， π]$ ，求 $y = g (x)$ 的值域；

(2)、设 $f (x) = s i n x - c o s x$ ，讨论 $F (x) = a s i n x + g (x)$ （ $a$ 为常数， $a \neq 0$ ）在 $(0 ， 2023 π)$ 上所有零点的和.

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