广东茂名市电白区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 4)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $8$ B、 $2$ C、 $- 8$ D、 $- 2$

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3. 高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成 $4 \times 4$ 方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是（）

A、9､7 B、15､1 C、8､8 D、12､4

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $2 a c o s B = c$ ，则该三角形一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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5. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）

A、 $68 π c m^{3}$ B、 $152 π c m^{3}$ C、 $20 \sqrt{10} π c m^{3}$ D、 $204 π c m^{3}$

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6. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）

A、至多一次中靶 B、两次都中靶 C、只有一次中靶 D、两次都没中靶

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7. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验最可能的是（）

A、抛一枚硬币，正面朝上的概率 B、掷一枚正六面体的骰子，出现 $1$ 点的概率 C、从装有 $2$ 个红球和 $1$ 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是红球的概率 D、从装有 $2$ 个红球和 $1$ 个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率

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8. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人次），则下列说法正确的是（）

满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	自助餐	点餐	自助餐	点餐	自助餐	点餐
10分（满意）	12	1	20	2	20	1
5分（一般）	2	2	6	3	4	12
0分（不满意）	1	1	6	2	3	2

A、满意度为0.5 B、不满意度为0.1 C、三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐 D、从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1

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二、多选题

9. 下列等式正确的是（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{4}$ B、 $2 s i n^{2} 22.5 ° - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $s i n 26 ° c o s 34 ° + c o s 26 ° s i n 34 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 71 ° - t a n 26 °}{1 + t a n 71 ° t a n 26 °} = 1$

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10. 一组数据的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，将这组数据的每一个数都乘以 $a$ ( $a > 0$ )得到一组新数据，则下列说法正确的是（）

A、这组新数据的平均数为 $\bar{x}$ B、这组新数据的平均数为 $a \bar{x}$ C、这组新数据的方差为 $a s^{2}$ D、这组新数据的方差为 $a^{2} s^{2}$

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11. 已知 $△ A B C$ 三个内角A ， B ， C的对应边分别为a ， b ， c ，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $b c o s A + a c o s B = \sqrt{2}$ C、 $△ A B C$ 周长的最大值为6 D、 $\frac{c o s B}{c o s A}$ 的取值范围为 $(- ∞ ， \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， D ， E是BC的三等分点，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = 4$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A E}$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 4$ D、 ${\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} = 28$

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三、填空题

13. 已知甲的三分球投篮命中率为0.4，则他投两个三分球，两个都投中的概率.

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四、双空题

14. 样本中共有5个个体，其值分别为 $- 1$ ， 0，1，2，3.则该样本的平均数为，标准差为.

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五、填空题

15. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (π) =$ .

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16. 甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班 $50$ 人，乙班 $40$ 人．甲班的平均成绩为 $76$ ，方差为 $96$ ；乙班的平均成绩为 $85$ ，方差为 $60$ ．那么甲，乙两班全部 $90$ 名学生成绩的方差是．

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六、解答题

17. 如图，为测量山高 $M N$ ，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角 $∠ M A N = 4 5^{∘}$ ， C点的仰角 $∠ C A B = 3 0^{∘}$ 以及 $∠ M A C = 7 5^{∘}$ ；从C点测得 $∠ M C A = 6 0^{∘}$ ，已知山高 $B C = 60 m$ ，求山高 $M N$ .

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $D ， E$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点， $A B = B C$ .求证：

(1)、 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ ；

(2)、 $B E ⊥ A C_{1}$ .

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19. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.

(1)、试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；

(2)、已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.

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20. 女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.

(1)、若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

(2)、若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙发球时甲赢1分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了 $X (X \leq 4)$ 个球后，甲队赢得整场比赛的概率.

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21. 已知函数 $g (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ ，将函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单
位后，得到函数 $f (x)$ 的图象.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最值.

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22. 如图所示，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点E为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着直线 $D E$ 翻折为 $∠ A^{'} D E$ ，连接 $A^{'} B$ ，得到四棱锥 $A^{^{'}} - B C D E$ .在 $△ A D E$ 翻折过程中，

(1)、求四棱锥 $A^{^{'}} - B C D E$ 体积的最大值；

(2)、若棱 $A^{'} C$ 的中点为F ，求 $B F$ 的长；

(3)、若二面角 $A^{'} - D E - C$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $A^{'} C$ 与平面 $A^{'} E D$ 所成角的正弦值.

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