浙江省舟山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {2 ， 0 ， 23} ， B = {20 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${2 ， 0}$ B、 ${0 ， 23}$ C、 ${2 ， 0 ， 23}$ D、 $R$

查看试题解析
2. 已知平面 $α ， β$ ，直线 $l ， a ， b$ ，若 $α ∩ β = l ， a \subset α ， b \subset β$ 且 $b ⊥ l$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $a ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $A (4 ， 2) ， B (1 ， m) ， C (s i n 1 ， n)$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系为（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m = n$ D、不能确定

查看试题解析
4. 2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度 $v ($ 单位 $： k m / s)$ 与燃料质量 $M$ (单位 $： k g$ )火箭质量 $m ($ 单位 $： k g)$ 的函数关系为 $v = 2 l n (1 + \frac{M}{m})$ ，若已知火箭的质量共为 $3100 k g ，$ 火箭的最大速度为 $11 k m / s ，$ 则火箭需要加注的燃料为(参考数值为 $l n 2 \approx 0.69 ； l n 244.69 \approx 5.50 ，$ 结果精确到0.01 $)$ （）

A、243.69 $t$ B、244.69 $t$ C、 $755.44 t$ D、 $890.23 t$

查看试题解析
5. 现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为（）

A、 $\frac{5}{42}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示， $ω > 0 ， | φ | < π$ ，则满足 $(f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) < 0$ 的整数 $x$ 取值可能为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

查看试题解析
7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 0 ， f (x) + f (1 - x) = 1 ， f (\frac{x}{5}) = \frac{1}{2} f (x)$ ，且当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) =$ （）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{128}$ C、 $\frac{1}{64}$ D、 $\frac{1}{32}$

查看试题解析
8. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，正三角形 $P A B$ 的边长为2， $A D ⊥$ 平面 $P C D ， B C / / A D$ ，且 $B C = 2 A D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、 $x = 0.01$ B、该样本数据的中位数和众数均为85 C、若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改 D、为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在 $[50 ， 60)$ 的学生4人

查看试题解析
10. 在复平面内，复数 $z_{1} = 0 ， z_{2} = 1 + \sqrt{2} i ， z_{3} = \sqrt{2} + i$ （i为虚数单位）对应的点分别为 $O ， A ， B$ ，下列描述正确的是（）

A、 $\frac{\bar{z_{2}}}{z_{3}} = i$ B、 $c o s ∠ A O B = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、若 $z_{2}$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p = 2 ， q = 2$ D、若复数 $z$ 满足 $| z - z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = m i n {(x - 2)^{2} ， | x | ， (x + 2)^{2}}$ ，其中 $m i n {a ， b ， c}$ 表示 $a ， b ， c$ 中的最小者，则下列说法正确的是（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、当 $x \in [- 3 ， 3]$ 时，则 $f (x) ≤ 1$ C、当 $x \in [1 ， + ∞)$ 时，则 $f (x - 2) \leq f (x)$ D、 $f (f (x)) \leq f (x)$

查看试题解析
12. 已知 $P ， Q$ 是边长为1的正方形 $A B C D$ 边上的两个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A P} \cdot \vec{D Q}$ 的最小值为 $- 1$ B、 $\vec{C Q} \cdot \vec{B P}$ 的最大值为2 C、 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q} - \vec{B P} \cdot \vec{D Q}$ 的最小值为 $- 2$ D、 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q} - \vec{B P} \cdot \vec{D Q}$ 的最大值为1

查看试题解析

三、填空题

13. 二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含 $x^{6}$ 的项是．

查看试题解析
14. 已知 $2 t a n α - t a n (α + \frac{π}{4}) = 7$ ，则 $c o s^{2} α + s i n 2 α =$ ．

查看试题解析
15. 欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有种上楼梯的方法.

查看试题解析
16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ B C ， B C = 2 P A = 2 A B = 2 ， P C = \sqrt{6}$ ，点 $M ， N$ 分别是 $P B ， B C$ 的中点，且 $A M ⊥ P C$ ，则平面 $A M N$ 截三棱锥 $P - A B C$ 的外接球所得截面的面积是．

查看试题解析

四、解答题

17. 在直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，向量 $\vec{O A} = (3 ， 1) ， \vec{O B} = (2 ， - 1) ， \vec{O C} = (a ， b)$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ．

(1)、若 $\vec{O B}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $45 °$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

查看试题解析
18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，函数 $f (x) = s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x$ ，角 $C$ 满足 $f (C) = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 2 b c o s B$ ，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求 $B C$ 边上的中线长度．
① $△ A B C$ 的周长为 $2 + \sqrt{3}$ ；

② $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

查看试题解析

19. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的

\frac{6}{5}

倍．若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为

H_{0}

：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到

x^{2} \approx 4.040

．

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

a	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；

(2)、求被抽样调查的总人数，并依据小概率值

α = 0.05

的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；

(3)、用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为

X

，求随机变量

X

的方差．

查看试题解析

20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的正三角形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 45 °$ ，平行于 $A A_{1}$ 和 $B C_{1}$ 的平面分别与 $A B ， A C ， A_{1} C_{1} ， A_{1} B_{1}$ 交于 $D ， E ， F ， G$ 四点．

(1)、试判断四边形 $D E F G$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A A_{1} = 3 ， D$ 是 $A B$ 的中点，求直线 $D F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
21. 在某项测验中，共有20道多项选择题（15道双选题和5道三选题随机排列），每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个（双选题）或者三个（三选题），全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定．

(1)、若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；

(2)、若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：
①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；
②从BCD选项中随机选两个作为答案；
③直接选择BCD作为答案；
为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + a (x > 0)$ 满足 $f (l o g_{2} a) = f (2 - l o g_{2} b)$ ，函数 $g (x) = l o g_{2} (2^{x} - 4) \cdot l o g_{b} (x^{2} - 1)$ ，其中 $a ， b \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的值域（用 $a$ 表示）；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围；

(3)、若存在实数 $b$ ，使得 $g (f (x)) - 3 l o g_{b} a \geq 3$ 有解，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析