湖北省武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：开学考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x - 4 \leq 0} ， B = {x ∣ 1 < x < 5}$ ，则集合 $A ∪ B$ 等于（）

A、 $[- 1 ， 5)$ B、 $(- 1 ， 5)$ C、 $(1 ， 4]$ D、 $(1 ， 4)$

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2. 若复数 $z = | \sqrt{3} i - 1 | + \frac{1}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 甲组有4名护士，1名医生；乙组有6名护士，2名医生.现需紧急组建医疗小队，若从甲､乙两组中各抽调2名人员，则选出的4名人员中恰有1名医生的不同选法共有（）

A、130种 B、132种 C、315种 D、360种

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4. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为 $3 \sqrt{2}$ 米，侧棱长为5米，则其体积为（）立方米.

A、 $24 \sqrt{2}$ B、24 C、 $72 \sqrt{2}$ D、72

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5. 公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数､众数､中位数､85%分位数分别为（）

A、8分，7分，7分，9分 B、8分，7分，7分，8.5分 C、7.2分，7分，7分，9分 D、7.2分，7分，7分，8.5分

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6. 过点 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 于 $A ， B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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7. 设函数 $f (x) = 3^{x} + b$ ，函数 $f (x)$ 的图像经过第一､三､四象限，则 $g (b) = f (b) - f (b - 1)$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{9})$ B、 $(- \infty ， \frac{2}{9})$ C、 $(- \infty ， \frac{2}{3})$ D、 $(0 ， \frac{2}{3})$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{m}{x^{2}} - \frac{x}{3} (x > 0)$ 有两个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， \frac{2}{3})$ C、 ${\frac{2}{3}}$ D、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $B D_{1}$ 的平面 $α$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $E$ ，交棱 $C C_{1}$ 于点 $F$ ，则（）

A、 $B F = E D_{1}$ B、不存在 $E ， F$ ，使得 $E F ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ C、四边形 $B F D_{1} E$ 可能为菱形 D、平面 $α$ 分正方体所得两部分的体积相等

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位后所对应的函数为偶函数

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11. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线的左､右焦点，若直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且与双曲线的右支交于 $M ， N$ 两点，下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ B、若 $l$ 的斜率为2，则 $M N$ 的中点为 $(8 ， 12)$ C、若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ D、使 $△ M N F_{1}$ 为等腰三角形的直线 $l$ 有3条

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12. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (1 + x) = f (1 - x) ， f (x - 2) + f (- x) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x + 1)$ 是偶函数 B、 $y = f (x + 3)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 是周期为4的周期函数 D、 $f (1) = 0$

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三、填空题

13. 正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A B} =$ .

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14. 网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷､商品种类齐全､性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“ $x = 1$ ”表示2015年，“ $x = 2$ ”表示2016年，且x为整数，依次类推；y表示人数）：

$x$

1

2

3

4

5

$y$ （万人）

20

50

100

150

180

根据表中的数据，可以求出 $\hat{b} = \frac{1920 - 5 \times 3 \times 100}{55 - 5 \times 9} = 42$ ，若预测该公司的网购人数能超过300万人，则 $x$ 的最小值为.

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15. 已知 $7 \sqrt{3} s i n θ = 1 + 7 c o s θ$ .则 $s i n (2 θ + \frac{π}{6}) =$ .

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16. 已知直线 $A B$ 是曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 及抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公切线，切点分别为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{2} > 0)$ ，则 $x_{1} y_{1} =$ ，若 $| A B | = \frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ，则 $p =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{3} = 7$ ， $a_{5} + a_{7} = 26$ ． ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ （ $n \in N^{+}$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A ， B ， C的对边， $\frac{a - c}{b + c} = \frac{\sin B}{\sin A + \sin C}$ ．

(1)、求A；

(2)、D为BC边上一点， $D A ⊥ B A$ ，且 $B D = 3 D C$ ，求 $\cos C$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 为等边三角形， $M$ 为 $P A$ 的中点， $P D ⊥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $M C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $C D = 2 A B$ ，求平面 $M C D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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20. 有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记 $p_{i}$ 为从第 $i$ 个箱子中取出黄球的概率.

(1)、求 $p_{2} ， p_{3}$ ；

(2)、求 $p_{20}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (2 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 3 (1 - x) l n (1 + x) + s i n π x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) = m$ 在 $[0 ， 1]$ 上有两个不等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | \leq 1 - \frac{2 m}{π + 3}$ .

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$x$	1	2	3	4	5
$y$ （万人）	20	50	100	150	180