陕西省西安市阎良区2022-2023学年高一下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示：
组号
1
2
3
4
5
频数
8
11
10
$x$
9
则第4组的频数和频率分别是（）

A、12，0.06 B、12，0.24 C、18，0.09 D、18，0.36

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2. 已知复数 $z = 2 i (3 - 5 i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $10 + 6 i$ B、 $10 - 6 i$ C、 $- 10 + 6 i$ D、 $- 10 - 6 i$

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3. “五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲·五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句.某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（）

A、2 B、1 C、4 D、3

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4. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示， $C^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ 轴， $C^{'} D^{'} / / y^{'}$ 轴， $C^{'} B^{'} = 1$ ， $A^{'} B^{'} = 5$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的原图形的面积为（）

A、 $5$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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5. 某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件 $A$ 为“甲､乙都中奖”，则与 $A$ 互为对立事件的是（）

A、甲､乙恰有一人中奖 B、甲､乙都没中奖 C、甲､乙至少有一人中奖 D、甲､乙至多有一人中奖

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6. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{7} | \vec{a} | = \sqrt{7} | \vec{b} |$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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7. 如图，在四面体 $P - A B C$ 中，点 $P$ 在平面 $A B C$ 上的射影是 $A$ ， $A C ⊥ B C$ ，若 $P A = B C = 2 ， P B = 2 \sqrt{10}$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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8. 武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点 $P$ 为主峰天柱峰的最高点， $M ， N$ 为观测点，且 $P ， M ， N$ 在同一水平面上的投影分别为 $Q ， E ， F$ ， $∠ Q E F = 3 0^{∘}$ ， $∠ Q F E = 4 5^{∘}$ ，由点 $M$ 测得点 $N$ 的仰角为 $1 5^{∘}$ ， $N F - M E = 200$ 米，由点 $N$ 测得点 $P$ 的仰角为 $α$ 且 $t a n α = \sqrt{2}$ ，则 $P ， M$ 两点到水平面 $Q E F$ 的高度差约为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、684米 B、732米 C、746米 D、750米

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二、多选题

9. 某学生的笔袋中共有6支不同的圆珠笔，其中3支是黑色圆珠笔，2支是红色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔，现从中任取2支，则下列事件中概率为 $\frac{1}{5}$ 的是（）

A、2支都是黑色圆珠笔 B、1支是黑色圆珠笔，1支是蓝色圆珠笔 C、2支都是红色圆珠笔 D、2支中恰有1支是黑色圆珠笔

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10. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 2 i}{z} = 2 + i$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为 $- 1$ B、 $| z | = \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 D、 $z^{6} = - 8 i$

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11. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了 $10 %$ ， $2023$ 届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（）

A、该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[30 ， 60)$ 内的学生人数占 $70 %$ B、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[60 ， 80]$ 内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在 $[50 ， 60)$ 内 D、相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加

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12. 上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，设矩形 $A B C D$ 和 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的中心分别为 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ ，若 $O_{1} O_{2} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O_{1} O_{2} = 6$ ， $A B = 10$ ， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $A_{1} D_{1} = 4$ ， $A B / / A_{1} B_{1}$ ， $B C / / B_{1} C_{1}$ ， $A D / / A_{1} D_{1}$ ， $C D / / C_{1} D_{1}$ ，则（）

A、这个六面体是棱台 B、该六面体的外接球体积是 $288 π$ C、直线 $A C$ 与 $A_{1} C_{1}$ 异面 D、二面角 $A - B C - C_{1}$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{37}}{37}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = m^{2} - (1 - i) m$ 为纯虚数，则 $m =$ .

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14. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高为6，且 $A_{1} B_{1} = 2 A B = 4$ ，则该四棱台的体积为.

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15. 慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12， $m ， n$ ， 20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则 $m =$ .

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16. 已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ .若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $μ \vec{B C}$ ，其中 $μ \in [\frac{3}{5} ， \frac{4}{5}]$ ，则 $c o s ∠ A O C$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 3 λ) ， \vec{b} = (5 ， λ - 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求λ的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $λ > 0$ ，求 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边， $s i n^{2} A + s i n A s i n C + s i n^{2} C + c o s^{2} B = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 5 ， b = 7$ ，求 $s i n C$ .

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19. 为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位： $t$ ），将数据按照 $[4.5 ， 5.5)$ ， $[5.5 ， 6.5)$ ， $[6.5 ， 7.5)$ ， $[7.5 ， 8.5)$ ， $[8.5 ， 9.5)$ ， $[9.5 ， 10.5]$ 分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.

(1)、在这500个家庭中月均用水量在 $[7.5 ， 8.5)$ 内的家庭有多少户？

(2)、求 $a ， b$ 的值；

(3)、估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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20. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，已知四边形 $A B C D$ 是正方形， $E D / / F C ， A D = E D = 2 F C = 4$ ， $M ， N ， Q$ 分别为 $A D ， C D ， E B$ 的中点， $P$ 为 $E D$ 上靠近点 $D$ 的四等分点.

(1)、证明： $F Q$ //平面 $A B C D$ ；

(2)、证明：平面 $P M N$ //平面 $E B F$ .

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21. 已知1个不秀明的袋子中装有6个白球和4个黄球（这些球除颜色外无其他差异）.甲从袋中摸出1球，若摸出的是白球，则除将摸出的白球放回袋子中外，再将袋子中的1个黄球拿出，放入1个白球；若摸出的是黄球，则除将摸出的黄球放回袋子中外，再将袋子中的1个白球拿出，放人1个黄球.再充分搅拌均匀后，进行第二次摸球，依此类推，直到袋中全部是同一种颜色的球，已知甲进行了4次摸球.

(1)、求袋子中球的颜色只有一种的概率；

(2)、求袋子中白球个数为4的概率.

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22. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} ， D ， E$ 分别为 $A A_{1} ， A C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $B D E$ .

(2)、若侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的中心为 $O ， M$ 为侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 内的一个动点， $O M$ $/ /$ 平面 $B D E$ ，且 $M$ 的轨迹长度为 $3 \sqrt{2}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积.

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组号	1	2	3	4	5
频数	8	11	10	$x$	9