上海市静安区2022-2023学年高一下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，其终边经过点 $(- 1 ， 2)$ .则角 $α$ 的余弦值为.

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2. 已知扇形的弧所对的圆心角为 $40 °$ ，且半径为 $9 m$ ，则该扇形的弧长为 $m$ .

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3. 若 $s i n (π - θ) + s i n (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{1}{2} t a n (π + θ) t a n (\frac{π}{2} - θ)$ ，则 $s i n 2 θ$ 的值为.

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4. 已知 $1 - 3 i$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则 $b c$ 的值为.

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5. 设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的 $90 %$ ，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放天.（结果精确到1天）

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6. 设向量 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， - s i n x)$ ，且 $x \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ ，则函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值域为.

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7. 若点 $D$ 是 $△ A B C$ 的重心（中线的交点），则用向量 $\vec{A B} 、 \vec{A C}$ 表示 $\vec{C D}$ 为.

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8. 已知点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， 4)$ ，将 $O A$ 绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转 $\frac{π}{3}$ 至 $O B$ .则点 $B$ 的坐标为.

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二、单选题

9. 在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合的角.
①小于 $90 °$ 的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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11. 设 $z \in C$ ， $σ (z)$ 表示满足 $z^{n} = 1$ 的最小正整数 $n$ ，则 $σ (i) + σ (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)$ 的值（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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三、解答题

12. 设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，已知 $a_{3} = 5$ ， $a_{9} = 17$ ，

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {(\frac{2}{3})}^{a_{n}}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{+ \infty} b_{i}$ 的值.

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13. 设复数 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ ，其中 $a 、 b 、 c 、 d \in R$ .现在复数系中定义一个新运算 $\otimes$ ，规定： $z_{1} \otimes z_{2} = (a c + b d) + (a d + b c) i$ .

(1)、已知 $| (2 - i) \otimes (x + i) | = \sqrt{2}$ ，求实数 $x$ 的值；

(2)、现给出如下有关复数新运算 $\otimes$ 性质的两个命题：
① $\bar{z_{1} \otimes z_{2}} = \bar{z_{1}} \otimes \bar{z_{2}}$ ；

②若 $z_{1} \otimes z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ .

请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.

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14. 如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯 $A$ 、 $B$ 之间的距离是 $100 m$ ，为了测量点 $A$ 与河对岸一点 $C$ 之间的距离，此人先后测得 $∠ B A C = 75 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两点之间的距离；

(2)、假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点 $C$ 、 $D$ 之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出 $C D$ 的长.

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15.

(1)、指出函数 $y = 2 \sqrt{2} (s i n x c o s x - s i n^{2} x + \frac{1}{2})$ 的最大值，及函数取得最大值时所对应的 $x$ 的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；

(2)、指出正弦函数 $y = s i n x$ 的单调性，并以此为依据证明：余弦函数 $y = c o s x$ 在区间 $[2 k π - π ， 2 k π] (k \in Z)$ 是严格增函数.

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16. 如图，平面向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是单位向量，夹角为 $6 0^{∘}$ ，那么，向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 构成平面的一个基.若 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则将有序实数对 $⟨ x ， y ⟩$ 称为向量 $\vec{a}$ 的在这个基下的斜坐标，表示为 $\vec{a} = ⟨ x ， y ⟩$ .

(1)、记向量 $\vec{e_{1}} = \vec{O A}$ ， $\vec{e_{2}} = \vec{O B}$ ，求向量 $\vec{A B}$ 在这个基下的斜坐标；

(2)、设 $\vec{a} = ⟨ 1 ， - 1 ⟩$ ， $\vec{b} = ⟨ 2 ， 0 ⟩$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(3)、请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

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