湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高一下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 3} ， B = {1 ， 2 ， 4}$ ，则 $∁_{U} B ∪ A =$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为 $60 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F$ 分别为 $A B ， A D$ 的中点，则异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成角的大小为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $9 0^{∘}$

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4. 在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若 $z = a + \frac{i}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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6. 已知 $\vec{a} = (1 ， m)$ 与 $\vec{b} = (n ， - 4)$ 共线，且向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (2 ， 3)$ 垂直，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $- 2$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 0 \\ - s i n x ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- \frac{π}{6})) =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、-1 D、2

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8. 若 $α$ 为锐角，且 $c o s (α + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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二、多选题

9. 设复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $\bar{z} = 1 - i$ C、 $z$ 在复平面上对应的点在第一象限 D、 $z$ 的虚部为 $i$

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10. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形， $S D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $A C ⊥ S B$ B、 $A B / /$ 平面 $S C D$ C、 $S A$ 与平面 $A B C D$ 所成角是 $∠ S A D$ D、 $A B$ 与 $B C$ 所成的角等于 $D C$ 与 $S C$ 所成的角

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11. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面ABCD中， $A B = A D = B C = 2 c m$ ，且 $C D = 2 A B$ ，下列说法正确的是（）

A、该圆台轴截 $A B C D$ 面面积为 $3 \sqrt{3} c m^{2}$ B、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3} c m^{3}$ C、该圆台的表面积为 $10 π c m^{2}$ D、沿着该圆台表面，从点 $C$ 到 $A D$ 中点的最短距离为 $5 c m$

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12. 已知函数 $f (x) = - 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $| f (x) |$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 的图像向左平移 $φ$ 个单位后关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 可以为 $\frac{5 π}{6}$

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三、填空题

13. 已知 $P (- 3 ， 4)$ 为角α终边上一点，则 $s i n α + c o s α$ = ．

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14. 现有一个底面半径为 $2 c m$ 、高为 $9 c m$ 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 $c m^{2}$ （损耗忽略不计）．

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15. 函数 $f (x) = c o s 2 x - \sqrt{2} c o s (\frac{π}{2} + 2 x)$ 的最大值为.

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16. 已知 $P A$ 垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $P A = 3 ， A B = 2 ， B C = \sqrt{3}$ ，则面角 $P - B D - A$ 的正切值为．

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四、解答题

17. 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， $a = 2 b \sin A$ .

(1)、求B的大小．

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 5$ ，求b.

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18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC ， E为PB的中点．求证：

(1)、 $P D$ $∥$ 平面AEC；

(2)、平面AEC⊥平面PBD ．

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19. 如图， $A B$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的一条母线， $B C$ 是底面的一条直径， $D$ 是圆 $O$ 上一点，且 $A B = B C = 5$ ， $C D = 3$ .

(1)、求直线 $A C$ 与平面 $A B D$ 所成角正弦值；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A C D$ 的距离.

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20. 若函数 $y = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示.

(1)、写出函数的解析式；

(2)、求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域.

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21. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $∠ A B C = \frac{2}{3} π$ ， $A B = 1$ ．

(1)、若 $A C = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $t a n ∠ C A D$ ．

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22. 已知函数 $y = f (x)$ ，若存在实数m、k（ $m \neq 0$ ），使得对于定义域内的任意实数x ，均有 $m \cdot f (x) = f (x + k) + f (x - k)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“可平衡”函数；有序数对 $(m ， k)$ 称为函数 $f (x)$ 的“平衡”数对．

(1)、若 $f (x) = x^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的“平衡”数对；

(2)、若m＝1，判断 $f (x) = s i n x$ 是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(3)、若 $m_{1}$ 、 $m_{2} \in R$ ，且 $(m_{1} ， \frac{π}{2})$ 、 $(m_{2} ， \frac{π}{4})$ 均为函数 $f (x) = c o s^{2} x (0 < x \leq \frac{π}{4})$ 的“平衡”数对，求 $m_{1}^{2} + m_{2}^{2}$ 的取值范围．

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