江西省上饶市2022-2023学年高二下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x < 3 x - 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ C、 $(- \infty ， 3)$ D、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 1$ ，则“ $a_{3} + a_{5} = 4$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 的公比为2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）

A、 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ B、 $y = s i n x - \frac{1}{2} s i n 2 x - \frac{1}{3} s i n 3 x$ C、 $y = s i n x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$ D、 $y = c o s x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$

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4. 已知 $A$ ， $B$ 为圆 $C ： (x - m)^{2} + (y - n)^{2} = 4 (m ， n \in R)$ 上两个不同的点（ $C$ 为圆心），且满足 $| \vec{C A} + \vec{C B} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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5. 若函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值10，则 $b + a =$ （）

A、 $- 7$ B、0 C、7 D、0或7

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6. 若函数 $f (x) = l n x - a x$ 在 $[1 ， e^{2}]$ 上存在两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{l n 2}{2} ， \frac{1}{e})$ B、 $[\frac{2}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{2}{e^{2}} ， \frac{l n 2}{2}]$ D、 $[\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2^{n} (n \in N^{*})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{4} = 3$ B、 ${a_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2022} = \frac{2^{2023} - 2}{3}$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2021} = 2^{2022} - 3$

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8. 已知实数： $a$ ， $b$ ， $c \in (0.1)$ ，且 $a = 2023 e^{a - 2023}$ ， $b = 2024 e^{b - 2024}$ ， $c = 2025 e^{c - 2025}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ 与曲线 $f (x) = l n x + x^{2}$ 相切，则下列直线中可能与 $l$ 垂直的是（）

A、 $x + 4 y = 0$ B、 $\sqrt{2} x + 5 y = 0$ C、 $\sqrt{2} x + 3 y = 0$ D、 $\sqrt{2} x - y = 0$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ ，下列结论正确的有（）

A、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{20} = 210$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2^{n} a_{n}$ ，则 $a_{5} = 2^{10}$ C、若 $S_{n} = 3^{n} + \frac{1}{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、若 $a_{n} = - 2 n + 11$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前5项的和最大

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11. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点（其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数），下列说法正确的是（）

A、 $x_{0} \in (0 ， 1)$ B、 $l n (2 - x_{0}) = x_{0}$ C、 $x_{0} - e^{- x_{0}} > 0$ D、 $e^{2 - x_{0}} > e$

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y + x y - 3 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的取值范围是 $(0 ， 1]$ B、 $x + y$ 的取值范围是 $[2 ， 3]$ C、 $x + 2 y$ 的最小值是 $4 \sqrt{2} - 3$ D、 $x + 5 y$ 的最小值为 $4 \sqrt{5} - 6$

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三、填空题

13. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 $2 ： 1$ ，货车中途停车修理的概率为 $0.02$ ，客车为 $0.01$ .今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为．

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14. 已知定义域为 $[a - 4 ， 2 a - 2]$ 的奇函数 $f (x) = x^{3} - s i n x + b + 2 ，$ 则 $f (a) + f (b)$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x$ ， $g (x) = 2 x$ ，且 $f (m) = g (n)$ ，则 $| n - 2 m |$ 的最小值为．

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四、双空题

16. 定义：满足下列两个条件的有穷数列 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n} (n = 2 ， 3 ， 4 ， ⋯)$ 为 $n$ 阶“期待数列”．
① $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n} = 0$ ， ② $| b_{1} | + | b_{2} | + | b_{3} | + ⋯ + | b_{n} | = 1$ ．
试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期待数列” ${b_{n}}$ 是递增的等差数列，则 $b_{2023} =$ ．

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五、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上靠近 $B$ 点的三等分点， $A C = 1$ ， $C C_{1} = B C = 3$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 ▲ ．
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解．
① $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} = n^{2}$ ；
② $a_{1} = 1$ ， $a_{4} = 7$ ， $2 a_{n} = a_{n - 1} + a_{n + 1}$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）；
③ $a_{1} = 1$ ，点 $A (n ， a_{n})$ ， $B (n + 1 ， a_{n + 1})$ 在斜率是2的直线上．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot 3^{\frac{a_{n} + 1}{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x - 2 l n (x + 2)$ ．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0 (m \in R)$ 在区间 $[- \frac{3}{2} ， 3]$ 上恰有2个不同的实数解，求 $m$ 的取值范围；

(2)、设函数 $h (x) = \frac{e^{x}}{x} + n (n \in R)$ ，若 $\exists x_{1} \in [- \frac{3}{2} ， 3]$ ，对 $\forall x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 总有 $f (x_{1}) \leq h (x_{2})$ 成立，求 $n$ 的取值范围．

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20. 今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次．三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力．上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
$[0 ， 2)$
$[2 ， 4)$
$[4 ， 6)$
$[6 ， 8)$
$[8 ， 10)$
$[10 ， 12)$
$[12 ， 14)$
$[14 ， 16)$
频数
3
4
8
11
41
20
8
5

(1)、从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；

(2)、若上饶市民的旅游支出费用 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ， $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中间值代表）， $σ$ 近似为样本标准差 $s$ ，并已求得 $s \approx 3$ ，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
②若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和均值．
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $B$ 为 $C$ 的上顶点，且 $△ B F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点 $P$ 处的切线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．求证： $\frac{1}{| O M |^{2}} + \frac{1}{| O N |^{2}}$ 为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - \frac{b}{x} - l n x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，当 $x_{1} < a < b < x_{2}$ 时，证明： $a {(x_{1} + x_{2})}^{2} + b (\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}) > \frac{a + b}{a + 3 b}$ ．

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组别	$[0 ， 2)$	$[2 ， 4)$	$[4 ， 6)$	$[6 ， 8)$	$[8 ， 10)$	$[10 ， 12)$	$[12 ， 14)$	$[14 ， 16)$
频数	3	4	8	11	41	20	8	5