辽宁省鞍山市2022-2023学年高二下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (2 x + 1) \leq 0}$ ， $B = {x | x ＜ 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 1}$ B、 ${x | - \frac{1}{2} \leq x ＜ 1}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \leq - \frac{1}{2}}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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3. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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4. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $M = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2}$ ，值域为 $N = {y ∣ 0 \leq y \leq 2}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $f (2 x - 1) = 4 x^{2} + 3$ ，则 $f (x) =$ （）．

A、 $x^{2} - 2 x + 4$ B、 $x^{2} + 2 x$ C、 $x^{2} - 2 x - 1$ D、 $x^{2} + 2 x + 4$

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6. 已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（）

A、[0，5] B、[-1，4] C、[-3，2] D、[-2，3]

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为R，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 单调递增，则 $f (- 2)$ ， $f (π)$ ， $f (- 3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (π) > f (- 2) > f (- 3)$ B、 $f (π) > f (- 3) > f (- 2)$ C、 $f (π) < f (- 2) < f (- 3)$ D、 $f (π) < f (- 3) < f (- 2)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x - a x - 4 ， x \leq 1 \\ 2^{x} + a ， x > 1 \end{array}$ 是R上的增函数，则a的取值范围是（）

A、［-4，0） B、［-4，-2） C、［-4，+∞） D、（-∞，-2）

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二、多选题

9. 下列函数既是偶函数，在 $(0 ， + \infty)$ 上又是增函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = | x |$ D、 $y = | \frac{1}{x} - x |$

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R ， x^{2} > - 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R ， x^{2} \leq - 1$ ”． B、命题“ $\exists x \in (- 3 ， + \infty) ， x^{2} \leq 9$ ”的否定是“ $\forall x \in (- 3 ， + \infty) ， x^{2} > 9$ ” C、“ $| x | > | y | ”$ 是“ $x > y$ ”的必要条件． D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正一负根”的充要条件

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11. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ B、 $f (x) = x + 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (t) = | t - 1 |$ 与 $g (x) = | x - 1 |$

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12. 下列说法正确的有（）

A、 $y = \frac{x^{2} + 1}{x}$ 的最小值为2 B、已知 $x > 1$ ，则 $y = 2 x + \frac{4}{x - 1} - 1$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} + 1$ C、若正数x，y为实数，若 $x + 2 y = 3 x y$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为3 D、设x，y为实数，若 $9 x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} - a x + 2}$ 的定义域为R ，则实数a的取值范围是．

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14. 已知 $α \in {- 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3}$ ，若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 为奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上是严格减函数，则 $α$ 取值的集合是．

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15. 不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 $(2 ， 3)$ ，则不等式 $b x^{2} - a x - 1 > 0$ 的解集为.

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16. 已知定义域为 $[1 - 3 a ， a + 1]$ 的奇函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + x$ ，则 $f (3 x + b) + f (x + a) \geq 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 5} ， B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ ．

(1)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围；

(2)、当集合A变为 ${x ∈ Z | - 2 ≤ x ≤ 5}$ 时，求A的非空真子集的个数；

(3)、若 $A ∩ B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围．

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18. 在① $f (x + 1) = f (x) + 2 x - 1$ ， ② $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，且 $f (0) = 3$ ， ③ $f (x) \geq 2$ 恒成立，且 $f (0) = 3$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数 $f (x)$ 的图像经过点（1，2）， ▲ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 上的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{k}{x} (k \in R)$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \sqrt{2})$ 上的单调递减；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某 $A$ 企业春节期间加班追产提供 $x (x \in [0 ， 20])$ （万元）的专项补贴. $A$ 企业在收到政府 $x$ （万元）补贴后，产量将增加到 $t = (x + 2)$ （万件）.同时 $A$ 企业生产 $t$ （万件）产品需要投入成本为 $(7 t + \frac{72}{t} + 2 x)$ （万元），并以每件 $(6 + \frac{40}{t})$ 元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益 $=$ 销售金额 $+$ 政府专项补贴 $-$ 成本.

(1)、求 $A$ 企业春节期间加班追产所获收益 $R (x)$ （万元）关于政府补贴 $x$ （万元）的函数关系式；

(2)、当政府的专项补贴为多少万元时， $A$ 企业春节期间加班追产所获收益最大？

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21. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 2) x^{5 k - 2 k^{2}}$ （ $k \in Z$ ）是偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (2 - x)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若实数 $a$ ， $b$ （ $a$ ， $b \in R^{+}$ ）满足 $2 a + 3 b = 7 m$ ，求 $\frac{3}{a + 1} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值．

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22. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{4 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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