辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. $c o s 1560 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z = \frac{2 - i}{2 + i} (a \in R)$ ，则它的共轭复数 $\bar{z}$ 为（）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $1 + \frac{4}{5} i$ D、 $1 - \frac{4}{5} i$

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3. 如图，一个水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图是矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} B^{'} = \sqrt{5}$ ， $O^{'}$ 是 $A^{'} D^{'}$ 的中点，则原四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $20 \sqrt{2}$ B、 $40 \sqrt{2}$ C、 $80 \sqrt{2}$ D、 $160 \sqrt{2}$

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4. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $c o s (α + \frac{π}{6}) = - \frac{2}{5}$ ，则 $t a n (\frac{5 π}{6} - α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为1， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $A C \cdot c o s C + A B \cdot c o s B =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ，设 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 函数 $f (x) = t a n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ 在一个周期内的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A、 $581 π c m^{3}$ B、 $872 π c m^{3}$ C、 $1152 π c m^{3}$ D、 $1436 π c m^{3}$

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二、多选题

9. 已知 $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、 $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = 0$ B、 $| 2 + i | = 2$ C、若 $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ ，则 $z$ 的虚部为4 D、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 2$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应点的集合是以 $O$ 为圆心、以 $2$ 为半径的圆

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10. 已知 $A ， B$ 为点， $l ， m ， n$ 为直线， $α ， β$ 为平面，则下列命题成立的是（）

A、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $A \in l$ ， $B \in l$ ，且 $A \in α$ ， $B \in α$ ，则 $l ⊂ α$ D、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $b = a c o s C + c s i n A$ ，则 $A = 45 °$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $B = C$ D、若 $a = 4$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，符合条件的 $△ A B C$ 只有一个，则 $2 < b < 4$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 是正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 的中心， $E$ 是 $P C$ 的中点，则以下结论正确的是（）

A、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ B、平面 $P A D_{1} / /$ 平面 $B D E$ C、三棱锥 $D - B C E$ 的体积为 $\frac{1}{12}$ D、异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成的角为 $45 °$

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三、填空题

13. 若 $s i n α + c o s α = \frac{5}{4}$ ，则 $s i n 2 α =$ ．

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14. 已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = - 1 + 3 i$ （i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，则 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} =$ ．

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15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径 $A$ ， $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ ， $D$ ，测得 $C D = 80$ ， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则 $A$ ， $B$ 两点间的距离为.

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = \sqrt{3}$ ，点M为线段 $P C$ 上的动点（不包含端点），则当三棱锥 $M - B C D$ 的外接球的体积最小时， $C M$ 的长为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - m - 20) + (m^{2} + 2 m - 35) i$ ， $m \in R$ ．

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m = 3$ 时，求 $i z + \bar{z}$ ．

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18. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径， $| A B | = 2$ ， $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点（不含端点）.

(1)、用向量的方法证明 $A C ⊥ B C$ ；

(2)、若 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上更靠近点 $B$ 的三等分点， $Q$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 上的任意一点（不含端点），求 $\vec{Q A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值.

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19. 如图，在正六棱锥 $S - A B C D E F$ 中， $O$ 为底面中心， $S O = 8$ ， $O B = 4$ ．

(1)、若 $M$ ， $N$ 分别是棱 $S B$ ， $S C$ 的中点，证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若该正六棱锥的顶点都在球 $Q$ 的表面上，求球 $Q$ 的表面积和体积．

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b s i n A = a t a n B$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值，并求出此时 $△ A B C$ 的面积．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (c o s x ， c o s x)$ ， $\vec{b} = (c o s x ， \sqrt{3} s i n x)$ ，函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、值域；

(2)、对任意实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，定义 $m a x {x_{1} ， x_{2}} = {\begin{array}{l} x_{1} ， x_{1} \geq x_{2} \\ x_{2} ， x_{1} < x_{2} \end{array}$ ，设 $g (x) = m a x {\sqrt{3} a s i n x ， a c o s x}$ ， $x \in R$ ， a为大于0的常数，若对于任意 $x_{1} \in R$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $∠ A D C = 9 0^{∘}$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ．

(1)、已知点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $C F = 2 F B$ ，证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $P A B$ 的距离．

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