江西省上饶市2022-2023学年高一下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $a ， b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $a + 2 i$ 与 $1 + b i$ 互为共轭复数，则 $a - b =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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2. 已知角 $α$ 的始边在 $x$ 轴的非负半轴上，终边经过点 $(- 3 ， 4)$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 设l是直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $l / / α ， l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $α ⊥ β ， l / / α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α ， l ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α ⊥ β ， l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$

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4. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n α + \frac{1}{t a n α} =$ （）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5. 双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部 $D$ 在同一水平面上的 $A$ ， $B$ 两点，测得 $A B = 17$ 米，在 $A$ ， $B$ 两点观察塔顶 $C$ 点，仰角分别为 $45 °$ 和 $30 °$ ， $∠ A D B = 30 °$ ，则五桂塔的高度 $C D$ 是（）

A、10米 B、17米 C、25米 D、34米

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6. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ B、 $ω = 4$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称

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7. 如图，已知棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在正方体的棱 $C B$ 、 $C C_{1}$ 、 $C D$ 上运动， $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，垂足为 $N$ ，则点 $N$ 形成图形中的各线段长度之和是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ 在 $[α ， α + \frac{π}{6}]$ 上单调，而函数 $g (α) = s i n ω α (ω > 0)$ 有最大值1，则下列数值可作为 $ω$ 取值的是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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二、多选题

9. 复数 $z = 1 + 2 i$ ， $i$ 是虚数单位，则以下结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、 $z > 1 + i$ C、 $z$ 的虚部为2 D、 $z$ 在复平面内对应点位于第一象限

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10. 如图，点P在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列四个结论一定正确的有（）

A、 $B_{1} P$ ∥ $A_{1} D$ B、 $B_{1} P$ ∥面 $A D D_{1} A_{1}$ C、 $A D_{1}$ ∥面 $B D P$ D、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，函数 $g (x)$ 为偶函数，则 $m$ 的值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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12. 在平面直角坐标系中，已知 $\vec{a} = (c o s α ， s i n α)$ ， $\vec{b} = (c o s β ， 2 c o s β)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{b} |$ 的取值范围是 $[0 ， \sqrt{5}]$ B、当 $\vec{b} \neq \vec{0}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影数量的取值范围是 $[0 ， 1]$ C、 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值是 $2 + \sqrt{5}$ D、若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，且 $x^{2} + 5 y^{2} = 2$ ，则 $| \vec{c} |$ 最大值为2

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三、填空题

13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} C^{'} = 2 \sqrt{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的高为.

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14. 已知 $s i n (α + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{6})$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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15. 如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = C C_{1} = C D + 1 = 2$ ，则四面体 $A B_{1} D_{1} C$ 的外接球的体积为.

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16. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形.如图，将 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 与原点重合， $A B$ 在 $x$ 轴上，然后将三角形沿着 $x$ 轴正方向滚动，每当顶点 $A$ 再次回落到 $x$ 轴上时，将相邻两个点 $A$ 之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点 $A$ 的路径长度为.

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四、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ (\vec{b} + 2 \vec{c})$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求实数 $m$ 的值.

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(a - 2 b) (c o s A c o s B - s i n A s i n B) = c c o s A$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边上的点，求线段 $C D$ 的最小值.

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19. 如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 A_{1} B_{1} = 3 A B$ ， $\vec{A_{1} E} = \frac{2}{3} \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $\vec{D_{1} F} = \frac{2}{3} \vec{D_{1} C_{1}}$ .

(1)、证明： $A_{1} D$ $∥$ 平面 $B C F E$ ；

(2)、若 $D D_{1} = A D = 2$ ，求异面直线 $D D_{1}$ 与 $E B$ 所成的角的余弦值.

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20. 如图四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为平行四边形，且 $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $E$ 是棱 $P C$ 上的一点， $P E = 3 E C$ ．

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求三棱锥 $E - P B D$ 的体积．

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21. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为2米，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面在点 $A$ 处时为初始时刻，设经过 $t$ 秒后盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $f (t)$ （单位：米）（在水面下则 $f (t)$ 为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)、求函数 $f (t)$ 的表达式；

(2)、求第一筒水倾倒的时刻 $t$ 和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

(3)、若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n x c o s x - \sqrt{2} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $g (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{4}) - f (x) \cdot f (x + \frac{π}{4})$ ，存在 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，对任意 $x ∈ R$ ，有 $g (x_{1}) \leq g (x) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值；

(3)、若函数 $F (x) = - f^{2} (x + \frac{π}{8}) + a [f (x + \frac{π}{8}) + 2] - 3$ 在 $(0 ， n π) (n \in N_{+})$ 内恰有2023个零点，求 $a$ 与 $n$ 的值.

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