【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的正弦公式2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若tan $θ$ =-2,则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ}$ =（）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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2. 若α为第四象限角，则（）

A、cos2α>0 B、cos2α<0 C、sin2α>0 D、sin2α<0

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3. 已知sinα﹣cosα= $\frac{4}{3}$ ，则sin2α=（　　）

A、﹣ $\frac{7}{9}$ B、﹣ $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 若 $α \in (- π， 0)$ ， $\sin 2 α = \frac{1}{4} \tan α$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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5. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{1 + s i n 2 α}{c o s 2 α} =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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6. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 5 ， m)$ ，且 $s i n α = - \frac{12}{13}$ ，则 $\frac{1 + c o s 2 α}{s i n 2 α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $- \frac{5}{12}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x - \frac{1}{2} (a > 0 ， x \in R)$ 在 $[0 ， π]$ 内有且仅有三条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3} ， \frac{7}{6})$ B、 $[\frac{7}{6} ， \frac{5}{3})$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3})$

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8. 下列各式的值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）.

A、sin $\frac{17 π}{6}$ B、sin $\frac{π}{12}$ cos $\frac{π}{12}$ C、 $c o s^{2} \frac{π}{12} - s i n^{2} \frac{π}{12}$ D、 $\frac{t a n \frac{π}{8}}{1 - t a n^{2} \frac{π}{8}}$

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9. 已知 $s i n θ = 3 c o s θ$ ，则 $\frac{s i n 2 θ + c o s^{2} θ}{1 + c o s 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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10. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m²＋n＝4，则 $\frac{m \sqrt{n}}{2 c o s^{2} 2 7^{°} - 1}$ ＝（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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11. 若 $a \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $t a n 2 α = \frac{3 c o s α}{2 - s i n α}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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12. 若 $\frac{s i n 2 α}{t a n α} = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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13. 已知 $π$ 是函数 $y = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω \neq 0)$ 的一个周期，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、﹣2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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二、填空题

14. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $2 \cos 2 α = \sin α - 1$ ，则 $\tan α =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{7},$ $b = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $c =$ ； $\frac{\sin 2 A}{\sin C} =$ .

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + c \sin A = 0$ ，则 $\tan A + \tan B$ 的取值范围为.

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17. 已知 $\tan θ = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{\sqrt{2} \sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ} =$ ．

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18. 已知 $\cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B所对的边分别为a，b ，若 $A = 2 B ， b = 2$ ，则 $\frac{a}{\cos B} =$ ；边长a的取值范围是.

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20. 已知 $2 \sin 2 α = \cos α = \sin β,$ 且 $α ， β \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (2 α + β) =$ .

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21. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2， $\tan A = \frac{\cos A + \cos C}{\sin A + \sin C}$ ，则角A的取值范围是.

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22. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $P (- 1, 2)$ ，则 $s i n 2 α =$ ．

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23. 已知 $α$ 为锐角，若 $2 \sin 2 α = \sin (\frac{π}{2} + 2 α) + 1$ ，则 $\cos α =$ .

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三、解答题

24. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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25. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin² $\frac{B}{2}$ ．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

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26. 设函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{6}) (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = f^{2} (x + \frac{π}{6})$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f^{2} (x) + f^{2} (x + \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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27. 在△ $A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若D为 $B C$ 边中点，且 $A D = 2$ ，求a的最小值.

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28. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $(b + a) (s i n A - s i n B) = (c - b) s i n C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、设 $a = 2$ ， $c o s \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求b．

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29. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + s i n^{2} ω x$ ，其中 $0 < ω < 6$ ，且 $f (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $θ \in (\frac{π}{12} ， \frac{π}{6})$ ，且 $f (θ) = \frac{5}{6}$ ，求 $s i n 2 θ$ 的值．

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30. 平面直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ ， \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ ，将射线 $l$ 绕极点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到射线 $l_{1}$ .设 $l$ 与曲线 $C$ 相交于点 $A$ ， $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于点 $B$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $2 \sqrt{| O A |^{2} + | O B |^{2}} = \sqrt{5} | O A | \cdot | O B |$ ，求 $α$ 的值.

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31. 在① $2 b \cos B = c \cos A + a \cos C$ ，② $b \sin A = a \sin (B + \frac{π}{3})$ ，③ $\cos 2 B = \sin (B - \frac{π}{2})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答；
$△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ， $c = 2$ ， ▲ ，求 $b$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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32. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的直径为 $2 \sqrt{3}$ ，且锐角 $A$ 满足 $f (A) = 1 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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33. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $3 {(\sin A - \sin C)}^{2} = 3 \sin^{2} B - 2 \sin A \sin C$

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $5 a = 3 b$ ，
（i）求 $\tan A$ 的值：

（ii）求 $\sin (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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34. 在① $3 \cos 2 B - \cos C = 1$ ；② $\tan \frac{C}{2} = \tan B$ ；③ $\sin B + \sqrt{3} \sin C = 2$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：如图，直角 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $B C = 4$ ，且 ▲ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $C D = 1$ ，求 $A D$ 长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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35. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = r \cos α ， \\ y = r \sin α . \end{array}$ （ $0 < r < 2$ ，a为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2} ： ρ^{2} = 4 \cos 2 θ$ （如图所示）.

(1)、若 $r = \sqrt{2}$ ，求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程并求曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标；

(2)、已知曲线 $C_{2}$ 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于不同的四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值.

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