【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：二倍角的正弦公式1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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2. 若 $α \in （ 0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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3. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α + 11 = 16 c o s α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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4. 已知 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n 2 θ = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\sqrt{5}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (s i n α ， 3)$ ， $\vec{b} = (c o s α ， 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\frac{s i n 2 α}{c o s^{2} α} =$ （）

A、3 B、6 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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6. 已知角 $α$ 终边所在直线的斜率为 $- 2$ ，则 $\frac{s i n 2 α - c o s^{2} α}{c o s 2 α} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7. 已知不等式 $s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2} + m \geq 0 (m \in R)$ 对 $\forall x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 恒成立，则m的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 下列选项中，p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $△ A B C$ 中， $p ： A > B$ ， $q ： s i n A > s i n B$ B、 $p ： b^{2} = a c$ ， $q ： a ， b ， c$ 成等比数列 C、 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，p：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，q：数列 $S_{m}$ ， $S_{2 m} - S_{m}$ ， $S_{3 m} - S_{2 m}$ 成等比数列 D、 $α \in R$ ， $p ： t a n α = 2$ ， $q ： c o s 2 α = - \frac{3}{5}$

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9. 将函数 $f (x) = s i n ω x c o s ω x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为 $\frac{π}{4}$ ，对于函数 $g (x)$ 有以下几个结论：
（1） $ω = 2$ ；（2）它的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称；（3）它的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称；（4）若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $g (x) \in [- \sqrt{3} ， 2]$ ；
则上述结论正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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11. 若 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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12. 设 $\sin 20 ° (\sqrt{3} + \tan 50 °) = m$ ， $8 \cos 20 ° \cos 40 ° \cos 80 ° = n$ ，在平面直角坐标系内，点 $P (- m ， n)$ 为角 $α$ 终边上任意一点，则 $g (x) = \sin (2 x - α)$ 的一个对称中心为（）

A、 $(- \frac{5 π}{8} ， 0)$ B、 $(- \frac{3 π}{2} ， 0)$ C、 $(- π ， 0)$ D、 $(0 ， 0)$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 2 B$ ，则 $c o s B =$ ．

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14. 若 $θ = θ_{0}$ 时， $f (θ) = s i n 2 θ - c o s^{2} θ$ 取得最大值，则 $s i n (2 θ_{0} + \frac{π}{4}) =$ ．

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15. 已知 $s i n θ - c o s θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 θ$ ＝.

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16. 角 $α$ 顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线 $2 x + y = 0$ 上，则 $s i n (\frac{π}{4} - α) c o s (α - \frac{π}{4}) =$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $B = 2 A ， a = 1 ， b = \sqrt{3}$ 则边 $c =$ .

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18. 若 $c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则 $s i n θ s i n 2 θ + c o s 2 θ =$ ．

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19. 若 $s i n θ + c o s θ = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n 2 θ =$ ．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A = 2 B$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则 $△ B C D$ 的面积为．

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21. 若 $f (\tan x) = \frac{1 - \cos 2 x}{1 + \cos 2 x}$ ，则 $f (3) =$ .

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22. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 \cos^{2} α - \sin^{2} α}$ 的值为.

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三、解答题

23. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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24. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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25. 在 $△ A B C$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $\cos C$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

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26. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $s i n A = s i n 2 B$ ， $a = 4$ ， $b = 6$ ．

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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27. 已知 $△ A B C$ 中，a，b，c是角A，B，C所对的边， $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ，且 $a = 1$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $A C = B C$ ，在 $△ A B C$ 的边AB，AC上分别取D，E两点，使 $△ A D E$ 沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.

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28. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $b s i n B - a s i n A = [2 b s i n (A + \frac{π}{6}) - c] s i n C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $s i n C \cdot c o s B$ 的取值范围．

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29. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ， $∠ C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $s i n (3 A + B)$ 的值．

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30. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $s i n A = 3 s i n B ， a = 6 b c o s C ， c = \sqrt{7}$ ．

(1)、求角C的度数；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 B - \frac{π}{3})$ 的值．

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31. 在 $△ A B C$ 中， $2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{B}{2} + 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $\sqrt{3} (a + c) = 2 b$ ，证明： $a = c$ .

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32. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为 $3 \sqrt{15}$ ， b－c＝2，cos A＝－ $\frac{1}{4}$ .

(1)、求a和sin C的值；

(2)、求cos $(2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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33. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x - c o s^{2} ω x + \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为 $\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{4}}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 4$ ， $b c = 12$ ， $f (A) = 1$ ．若角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，求 $A D$ 的长．

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34. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $s i n B - 2 \sqrt{3} c o s^{2} \frac{A + C}{2} = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - c$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f （ x ） = 2 cos (x + \frac{π}{3}) cos x$ .

(1)、求函数 $f （ x ）$ 的周期及对称轴：

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边.若 $f (B - \frac{π}{6}) = 0 ， a = 4 ， b = \frac{7}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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