【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两角和与差的正切公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知2tanθ–tan(θ+ $\frac{π}{4}$ )=7，则tanθ=（）

A、–2 B、–1 C、1 D、2

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2. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上一点，点 $F_{1}$ 关于 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的对称点 $N$ 也在椭圆 $E$ 上，若 $c o s ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ，则（）

A、 $△ F_{1} M N$ 的周长为 $4 a$ B、 $\frac{| M F_{2} |}{| N F_{2} |} = \frac{1}{2}$ C、 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 已知 $t a n (α + β)$ ， $t a n (α - β)$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 4 = 0$ 的两根，且 $t a n α = \frac{2}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、4 C、-12 D、 $- \frac{10}{3}$

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4. 若 $\frac{3 s i n α + 2 c o s α}{2 s i n α - c o s α} = \frac{8}{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、2

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5. 四边形 $A D E H$ 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令 $∠ E A D = α$ ， $∠ F A D = β$ ，则 $t a n (β - α) =$ （）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{7}{6}$

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6. 已知 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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7. 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长 $($ 即可见角最大 $) .$ 后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面 $α$ ，悬杆抽象为直线l上两点A， $B$ ，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面 $α$ ， l上的两点A，B位于平面 $α$ 同侧，求平面上一点C，使得 $∠ A C B$ 最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设 $A (0 ， a) ， B (0 ， b) ， C (c ， 0) ， 0 < b < a$ ，当 $∠ A C B$ 最大时， $c =$ （）

A、2ab B、 $\sqrt{a b}$ C、 $2 \sqrt{a b}$ D、ab

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的点， $3 A E = 2 B E$ ， $∠ E C F = \frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $A D = \frac{3}{2} D F$ B、 $A D = 2 D F$ C、 $A D = 3 D F$ D、 $A D = 4 D F$

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9. 唐代数学家､天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长 $l$ 与太阳天顶距 $θ$ 的对应数表.已知晷影长 $l$ ､表高h与太阳天顶距 $θ$ 满足 $l = h t a n θ$ ，记太阳天顶距为75°时晷影长为 $l_{1}$ ，太阳天顶距为45°时晷影长为 $l_{2}$ ，则 $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5} + 2$ B、 $\sqrt{5} - 2$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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10. 对于函数 $f (x)$ ，若存在两个常数 $a$ ， $b$ ，使得 $f (a + x) \cdot f (a - x) = b$ ，则称函数 $f (x)$ 是“ $J$ 函数”，则下列函数能被称为“ $J$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = e^{x}$ B、 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{x}}$ C、 $f (x) = 3 x - 1$ D、 $f (x) = t a n x$

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11. $t a n 87 ° + t a n 48 ° - t a n 87 ° t a n 48 °$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

12. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）＝．

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13. 已知 $\tan (α - \frac{5 π}{4}) = \frac{1}{5}$ ，则tan $α$ =

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14. 若tan（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\frac{1}{6}$ ．则tanα= ．

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15. 设θ为第二象限角，若 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则sinθ+cosθ= ．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x - 2} + 4 ， x \geq 0 \\ \sqrt{1 + x^{2}} ， x < 0 \end{array}$ ，点 $M$ 、 $N$ 是函数 $f (x)$ 图象上不同的两个点，则 $t a n ∠ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）的取值范围是.

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17. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形 $A B C$ ，勾 $A C$ （短直角边）长3步，股 $B C$ （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形 $C D E F (D ， E ， F$ 分别在边 $C B ， B A ， A C$ 上）边长为多少？在求得正方形 $C D E F$ 的边长后，可进一步求得 $∠ B A D$ 的正切值为.

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18. 若 $t a n α = 3 t a n β$ ， $t a n β > 0$ ， $t a n (α + β) = - 2$ ，则 $t a n β =$ .

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19. 已知 $α$ 为锐角，且 $t a n α + t a n (\frac{π}{4} - α) = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{s i n 2 α + 1}{c o s 2 α} =$ .

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20. 若 $t a n (α - β) = \frac{3}{2}$ ， $t a n β = 2$ ，则 $t a n α =$ .

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21. 已知 $t a n (α + β) = 4 ， t a n β = 2$ ，则 $t a n 2 α =$ .

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22. 在锐角三角形 $A B C$ 中，D是线段 $B C$ 上的一点，且满足 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $A D = A B$ ，则 $t a n A + t a n B + t a n C$ 的最小值是.

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23. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{2 s i n α - c o s α}{s i n α + 3 c o s α} =$ .

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24. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ， $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s α =$ ．

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25. 已知 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $\tan θ =$ ， $\sin 2 θ =$ ．

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三、解答题

26. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 (b^{2} - a^{2}) + c^{2} = 0$ .

(1)、求 $\frac{s i n A c o s B}{c o s A s i n B}$ 的值；

(2)、求 $A - B$ 的最大值.

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27. 如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为 $\frac{4}{3}$ （即 $t a n ∠ B D C = \frac{4}{3}$ ），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且 $A D ⊥ A B$ ， $B C ⊥ A B$ ．

(1)、求两座高塔底部A，B之间的距离；

(2)、为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求 $∠ D P C$ 最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?

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28. 在① $t a n A t a n C - \sqrt{3} t a n A = 1 + \sqrt{3} t a n C$ ；② $(2 c - \sqrt{3} a) c o s B = \sqrt{3} b c o s A$ ；③ $(a - \sqrt{3} c) s i n A + c s i n C = b s i n B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____.

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、已知 $c = b + 1$ ，且角 $A$ 有两解，求 $b$ 的范围.

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29. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 $b^{2} + 2 c^{2} - 2 a^{2} = 0$ ．

(1)、若 $t a n C = \frac{1}{3}$ ，求A的大小；

(2)、当 $A - C$ 取得最大值时，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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30. 如图，扇形 $O P Q$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $O P Q$ 区域的圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $O P Q$ 区域外修建一条公路 $M N$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\overset{⌢}{P Q}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $∠ P O S = α$ （弧度），将公路 $M N$ 的长度记为 $y$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1)、将y表示为 $α$ 的函数，并写出 $α$ 的取值范围；

(2)、求y的最小值，并求此时 $α$ 的值．

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31. 吴淞口灯塔 $A E$ 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 $H$ （单位： $m)$ ，如示意图，垂直放置的标杆 $B C$ 的高度 $h = 3 m$ ，使 $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角 $∠ A B E = α$ ， $∠ A D E = β$ .（本题的距离精确到 $0.1 m)$

(1)、该小组测得 $α$ ､ $β$ 的一组值为 $α = 51.83 °$ ， $β = 47.33 °$ ，请据此计算 $H$ 的值；

(2)、该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 $d$ （单位： $m)$ ，使 $α$ 与 $β$ 之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 $20.1 m$ ，试问 $d$ 为多少时， $α - β$ 最大？

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32. 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $A B C D$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $A E F C D A$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $E F$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $A D$ 平行，端点 $E$ 是该抛物线的顶点且为 $A B$ 的中点，端点 $F$ 在 $B C$ 上，且 $F B$ 长为 $0.5$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.

(1)、求弯道段 $E F$ 所确定的函数 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、绿地管理部门欲在弯道段 $E F$ 上选取一点 $P$ 安装监控设备，使得点 $P$ 处监测 $C D$ 段的张角 $(∠ C P D)$ 最大，求点 $P$ 的坐标.

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33. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b \sin A = 2 c \sin B$ ，且 $b = 3$ ， $\cos B = \frac{1}{4}$ .
（Ⅰ）求 $a$ 的长；

（Ⅱ）求 $\tan C$ 的值；

（Ⅲ）求 $\tan (2 B - C)$ 的值.

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34. 在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为： $tan A + tan B + tan C = \frac{\sqrt{3}}{3} tan A tan B ．$

(1)、求∠C的的大小；

(2)、若c=2，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围

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35. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = 2 a$ .

(1)、若 $\tan (A + \frac{π}{4}) = 3$ ，求 $\sin C$ ；

(2)、若 $6 (a + b) = 7 (a \cos B + b \cos A)$ ，求 $\cos C$ .

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