【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两角和与差的正弦公式3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知O为坐标原点，点P₁(cosα,sinα),P₂(cosβ，-sinβ),P₃(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（）

A、| $\vec{{OP}_{1}} |$ = $\vec{| {OP}_{2}} |$ B、 $| \vec{{AP}_{1}} |$ = $| \vec{{AP}_{2}} |$ C、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{3}}$ = $\vec{{OP}_{1}} \vec{\cdot {OP}_{2}}$ D、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{1}} = \vec{{OP}_{2}} \vec{\cdot {OP}_{3}}$

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2. 已知 $\sin θ + \sin (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\sin (θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $3 t a n 10 ° + λ c o s 80 ° = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、2

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4. 赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角 $α$ ，另一对直角三角形含有锐角 $β$ （位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（）

A、 $s i n (α - β) = s i n α c o s β - c o s α s i n β$ B、 $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ C、 $c o s (α - β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ D、 $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$

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5. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s C = \frac{b - a}{2 a}$ ，则 $s i n B + s i n A$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{8 \sqrt{3}}{9}]$

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6. 已知点 $P (c o s θ ， s i n θ)$ 在直线 $a x - y + 3 = 0$ 上．则当 $θ$ 变化时，实数a的范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}] ∪ [2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 3]$ D、 $(- \infty ， - 3] ∪ [3 ， + \infty)$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} (x + \frac{π}{12}) + s i n^{2} (x + \frac{π}{4})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 图象的一个对称中心为（）

A、 $(- \frac{7 π}{12} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{π}{12} ， 1)$ C、 $(\frac{π}{12} ， 1)$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{1}{2})$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，点 $A ， B ， C$ 是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 的图象从左至右的某三个相邻交点，且 $| A B | = 3 | B C | = \frac{3 π}{4}$ ，则下列命题中正确的是（）
① $m = \sqrt{2}$ ；②函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；③函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；④将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的函数图象关于原点对称.

A、①②③ B、②④ C、①③④ D、①④

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9. 若 $λ s i n 16 0^{∘} + t a n 2 0^{∘} = \sqrt{3}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\frac{s i n α}{1 + t a n α}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{14}}{51}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{13}$ C、 $\frac{4 \sqrt{17}}{51}$ D、 $\frac{2 \sqrt{17}}{13}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若 $a c = 8 ， s i n B + 2 s i n C c o s A = 0$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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12. 已知 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，若 $s i n (2 θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $s i n θ + c o s θ =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\sin B = \frac{5}{3} \cos C$ ，则 $\tan C =$ ，若 $c = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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14. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ ， $\cos α =$ .

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15. 已知角 $α$ 的终边过点 $(1, 2)$ ，则 $\tan α =$ ， $\sin 2 α =$ ．

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16. 在锐角△ABC中， $A B = \sqrt{3}, A C = 1$ ，D点在线段BC上，且BD=2DC ， $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ，则△ABC的面积为.

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17. 函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 的值域为.

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18. 若 $cos (α + \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ .

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19. 函数 $f (x) = A (\sin ω x + \cos ω x) + b (A > 0, ω > 0)$ 的最大值为3，最小值为-1，图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $2 π$ .则 $b =$ ， $ω =$ .

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20. 已知A，B(不与原点O重合)分别为直线 $x + y = 0$ 与 $x - y = 0$ 上的两点， $C (0 ， 2)$ ，M为动点，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | ， | \vec{C M} | = 1$ ，记三角形 $△ A O M ， △ B O M$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，则 $λ$ 的取值范围是.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $3 b \cos C = 3 a - c$ ，且 $A = C$ ，则 $\sin A =$ ．

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22. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan α = 3$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{4}) =$ ．

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三、解答题

23. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

(1)、若a= $\sqrt{3}$ c，b=2 $\sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若sinA+ $\sqrt{3}$ sinC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求C.

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24. 在① $a c = \sqrt{3}$ ，② $c sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin A = \sqrt{3} sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， ▲ ?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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25. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}$ ．
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (2 A + \frac{π}{4})$ 的值．

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26. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a > b$ ， $a = 5$ ， $c = 6$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ .

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、求 $s i n A$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A + \frac{π}{4})$ 的值.

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27. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $c c o s A + c s i n A - \frac{\sqrt{5}}{5} a - b = 0$ ．

(1)、求 $c o s C$ 的值；

(2)、在 $B C$ 的延长线上有一点D，使得 $∠ D A C = \frac{π}{4} ， A D = 10$ ，求 $A C ， C D$ ．

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28. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 2 a c o s A c o s C + 2 c c o s^{2} A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $c - 2 b$ 的取值范围.

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29. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b t a n A + b t a n B = \frac{\sqrt{3} c}{c o s A}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、 $D$ 是 $A C$ 边上的点，若 $C D = 1$ ， $A D = B D = 3$ ，求 $s i n A$ 的值．

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30. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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31. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D ， A B = 1 ， A D = \sqrt{3} ， B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、若 $C D = 2$ ，求 $s i n ∠ A D C$ ；

(2)、若 $∠ C = 45 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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32. 在① $2 s i n B = t a n A c o s C + s i n C$ ， ② $s i n A = \sqrt{3} s i n \frac{A}{2}$ ， ③ $c o s 2 A + c o s A = 0$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．
已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且____．
注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分

(1)、求A；

(2)、若点D在边BC上，且 $B C = 3 B D$ ，求AD．

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33. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （其中 $α$ 为参数， $0 \leq α < 2 π$ ），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{3} (ρ \in R)$ ．

(1)、求曲线C的极坐标方程与直线 $l_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ 与曲线C交于点O，A，直线 $l_{2}$ 与曲线C交于点O，B，求 $△ A O B$ 面积的最大值．

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34. 在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB $= \frac{s i n A}{2 - c o s A}$

(1)、若 $t a n B = \frac{1}{2}$ ，求tanC的值：

(2)、已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 $A M = 3 ， M N = 1 ，$ 求△ABC的面积．

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35. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B + b c o s A = \sqrt{2} c c o s C$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求c和 $s i n A$ 的值．
条件①： $a = 2 \sqrt{2}$ ， $A C$ 边上中线的长为 $\sqrt{5}$ ；
条件②： $b = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为6；
条件③： $c o s B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $A C$ 边上的高 $B D$ 的长为2．

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