【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两角和与差的正弦公式2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x - 3 c o s^{2} x + 4 s i n x c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 的最大值是 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是增函数 D、直线 $x = \frac{π}{8}$ 是图像的一条对称轴

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2. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，且 $\sqrt{2} c o s 2 α = s i n (α + \frac{π}{4})$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、-1 D、1

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3. 已知 $s i n (\frac{π}{6} - α) = s i n (\frac{π}{2} - α)$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知 $m s i n 2 0^{∘} + t a n 2 0^{∘} = \sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、4 D、8

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5. $s i n 50 ° c o s 20 ° - s i n 140 ° s i n 20 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $0 < α < \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} < β < π ， s i n α = \frac{3}{5} ， c o s (α + β) = - \frac{4}{5}$ ，则 $s i n β =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ 或 $\frac{24}{25}$ D、0或 $\frac{24}{25}$

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7. 已知 $t a n \frac{α}{2} = \sqrt{5} - 2$ ，则 $\frac{c o s α c o s 2 α}{s i n α - c o s α} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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8. 已知实数x，y满足 $x^{2} + 4 y^{2} = 5$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、6 D、3

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9. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的图象在区间 $(0 ， π)$ 上有且只有1个最低点，则实数 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{6} ， \frac{7}{2}]$ B、 $(\frac{7}{2} ， \frac{25}{6}]$ C、 $[\frac{11}{6} ， + \infty)$ D、 $(\frac{11}{6} ， \frac{23}{6}]$

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10. 若 $t a n \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\pm \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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二、填空题

11. 若函数 $f (x) = A \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A =$ ； $f (\frac{π}{12}) =$ ．

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12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a c o s C + c s i n A = 0$ ．若角C的平分线交AB于D点，且 $C D = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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13. 已知角 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n \frac{π}{12} = \frac{s i n α - s i n \frac{π}{12}}{c o s α + c o s \frac{π}{12}}$ ，则 $α =$ .

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14. 如图，无人机在离地面的高 $A E = 200 m$ 的A处，观测到山顶M处的仰角为 $30 °$ ，山脚C处的俯角为 $45 °$ ，已知 $∠ M C N = 60 °$ ，则山的高度 $M N$ 为.

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15. 函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $a c o s B - b c o s A = \frac{3}{4} c$ ，则 $\frac{t a n A}{t a n B} =$ .

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17. 关于函数 $f (x) = s i n 2 x + c o s 2 x$ ，给出下列四个结论：
① $π$ 是 $f (x)$ 的最小正周期；
② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最小值是 $- 1$ ；
③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是单调递增函数；
④ $x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴.
其中所有正确结论的序号是.

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18. 关于函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{5 π}{6}) (ω > 0)$ 有如下四个命题：①若 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ ；②若 $ω = 2$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增；③当 $x = \frac{(4 k + 1) π}{2 ω} (k \in Z)$ 时， $f (x)$ 取得极大值；④若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上恰有一个极值点和一个零点，则 $\frac{3}{2} < ω < 2$ .
其中所有真命题的序号是.

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19. 如图，某小区有一块扇形OPQ空地，现打算在 $\overset{⌢}{P Q}$ 上选取一点C，按如图方式规划一块矩形ABCD土地用于建造文化景观．已知扇形OPQ的半径为6米，圆心角为60°，则矩形ABCD土地的面积（单位：平方米）的最大值是．

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20. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x - \frac{π}{6}) + \sin^{4} x - \cos^{4} x$ ，则 $f (x)$ 的最小值为， $f (x)$ 图象的一条对称轴方程可以是.

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21. 若 $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $cos 2 α =$ .

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三、解答题

22. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、若 $A = 2 B$ ，求C；

(2)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

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23. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$ ．

(1)、证明： $2 a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ；

(2)、若 $a = 5 ， \cos A = \frac{25}{31}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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24. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c - a = 2 b \cos A$ ， $b = 3$ ．
（Ⅰ）求 $B$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

（Ⅲ）求 $\frac{a c}{a + c}$ 的最大值．

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25. 在 $△ A B C$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $\cos C$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

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26. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a t a n B = 2 b s i n A$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $B C = 4 ， A = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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27. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 $(c - 2 a) c o s B + b c o s C = 0$ .

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为6， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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28. 设 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c s i n C}{a} - s i n C = \frac{b s i n B}{a} - s i n A$ ， $b = 4$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小

(2)、若 $c = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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29. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $(b - c) (s i n B - s i n C) = a s i n A - b s i n C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $s i n B + s i n C$ 的取值范围.

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30. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = b (s i n C + c o s C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $A = \frac{π}{2}$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点（ $A$ 、 $D$ 在直线 $B C$ 两侧）， $D B = 2$ ， $D C = 3$ ，求四边形 $A B D C$ 面积的最大值．

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31. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a (c o s C + 2) = \sqrt{3} c s i n A$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $2 a + b = \sqrt{2} c$ ，求 $s i n A$ ．

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32. 如图， $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $| A C | = 2$ ，点D是以BC为直径的半圆弧上的动点，满足 $∠ C B D = α$ ， $\frac{π}{4} \leq α < \frac{π}{2}$ ．过点D作 $D E ∥ A B$ 交AC于点E，作 $D F ∥ A C$ 交AB于点F．

(1)、试用α表示BD的长度；

(2)、求 $| D E | + | D F |$ 的取值范围．

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33. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边的长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} a = \sqrt{3} c c o s B + b s i n C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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34. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $c = 3 \sqrt{2}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $6$ ．

(1)、求 $a$ 及 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $s i n (2 A - \frac{π}{6})$ 的值．

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35. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B + \frac{1}{2} b = c ， b = 2$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $B C$ 边上的高.
条件①： $c o s B = - \frac{2}{3}$ ；条件②： $s i n B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；条件③： $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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