【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两角和与差的正弦公式1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，且 $C = \frac{π}{5}$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{10}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{10}$ D、 $\frac{2 π}{5}$

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2. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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3. 若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α + β) = - 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α - β) = 1$

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4. 下列化简正确的是（）

A、 $c o s 82 ° s i n 52 ° + s i n 82 ° c o s 128 ° = - \frac{1}{2}$ B、 $s i n 15 ° s i n 30 ° s i n 75 ° = \frac{1}{8}$ C、 $c o s^{2} 15 ° - s i n^{2} 15 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{t a n 48 ° + t a n 72 °}{1 - t a n 48 ° t a n 72 °} = \sqrt{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题 $p ： \frac{1 - t a n^{2} \frac{A}{2}}{1 + t a n^{2} \frac{A}{2}} + \frac{b c o s (A + C)}{a} = 0$ ，命题 $q ： △ A B C$ 为等腰三角形．则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知角 $C = \frac{π}{4}$ ， $b s i n (\frac{π}{4} + A) - a s i n (\frac{π}{4} + B) = c$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{8}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知 $\frac{c o s 2 α}{s i n α + c o s α} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知 $s i n (α - \frac{π}{6}) + c o s α = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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9. 已知函数 $f (x) = a s i n x - b c o s x$ （ $a$ 、 $b$ 为常数 $a \neq 0$ ， $x \in$ R）在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得最小值，则函数 $f (\frac{3 π}{4} - x)$ 是（）

A、偶函数，且图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 B、偶函数，且图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 C、奇函数，且图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 D、奇函数，且图象关于点 $(π ， 0)$ 对称

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} = b^{2} - 3 c$ ， $s i n (B - A) = 2 s i n A c o s B$ ，则边 $c =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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11. 对于函数 $f (x) = (s i n x + c o s x)^{2} + \sqrt{3} c o s 2 x$ ，有下列结论：①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③减区间为 $[\frac{π}{12} + k π ， \frac{7}{12} π + k π] (k \in Z)$ ；④对称中心为 $(- \frac{π}{6} + k π ， 0) (k \in Z)$ ．则上述结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = a s i n x - c o s x (x \in R)$ 关于 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则下列结论正确的是（）

A、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称

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13. 已知 $f (x) = s i n x + a c o s x (a \neq 0)$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $f (x)$ 过点 $(- \frac{π}{6} ， 1)$ ，则 $a = \pm \sqrt{3}$ B、若 $f (x)$ 在 $y$ 侧右侧的第一条对称轴为 $x = \frac{π}{4}$ ，则 $a = 1$ C、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 单调递增 D、将 $g (x) = f (x) + x c o s x$ 的正零点按从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $t a n x_{1} + t a n x_{3} = 0$ ，则 $a = - π$

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二、填空题

14. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且 $2 c s i n (B - A) = 2 a s i n A c o s B + b s i n 2 A$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是．

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15. 已知 $t a n α + t a n β = 3$ ， $s i n (α + β) = 3 s i n (α - β)$ ，则 $t a n (α - β) =$ ．

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16. 已知向量 $\vec{O A} = (\sin (α + \frac{π}{4}) ， 6)$ ， $\vec{O B} = (\sin (α + \frac{3 π}{4}) ， 1)$ ， $\vec{O A} // \vec{O B}$ ，则 $\tan 2 α =$ .

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17. 已知点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A G ⊥ B G$ ，若 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{μ}{\tan C}$ ，则 $μ =$ .

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18. 已知 $2 s i n (α - \frac{π}{3}) = c o s α$ ，则 $t a n α =$ .

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19. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为a， $b$ ， c，已知 $a = 2$ ， $s i n A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{a}{c o s A} + \frac{c}{c o s C} = 4 b$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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20. 如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在CB₀位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A₀处.设连杆AB长200 $m m$ ，曲柄CB长70 $m m$ ，则曲柄自CB₀按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A₀A）约为 $m m$ .（结果保留整数）（参考数据：sin53.2°≈0.8）

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21. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，若 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $s i n α =$ ．

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22. 已知 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且 $c^{2} = {(a - b)}^{2} + 6$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n A \cdot s i n B$ 的取值范围为.

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 与 $β$ 角均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为 $A (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ， $C (- 1 ， 0)$ ．若 $∠ B O C = \frac{π}{6}$ ，则 $c o s (β - α)$ 的值是．

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三、解答题

24. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{c o s A} = 2$ ．

(1)、求 $b c$ ；

(2)、若 $\frac{a c o s B - b c o s A}{a c o s B + b c o s A} - \frac{b}{c} = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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25. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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26. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b s i n B - c s i n C = a$ ．

(1)、证明： $B - C = \frac{π}{2}$

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积．

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27. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{1}{s i n B}$ .

(1)、证明： $b^{2} = a c$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，当角 $B$ 取得最大值时，求 $△ A B C$ 的面积.

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28. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\sqrt{3} b = a (\sqrt{3} c o s C - s i n C)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 8$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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29. 已知 $△ A B C$ 中角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $2 c s i n A c o s B + 2 b s i n A c o s C = \sqrt{3} a$ ， $c > a$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 2$ ， $B C$ 边上中线 $A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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30. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a s i n B = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ， $b c o s C = c c o s B$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若点 $D$ 为边 $B C$ 上的一个点，且满足 $c o s ∠ B A D = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的面积之比.

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31. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $A = 2 B$ .

(1)、若 $b = 2 ， c = 1$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $b + c = \sqrt{3} a$ ，求 $B$ .

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32. 在 $△ A B C$ 中， $s i n^{2} A + 3 s i n^{2} C = 3 s i n^{2} B$ ．

(1)、若 $s i n B c o s C = \frac{2}{3}$ ，判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、求 $t a n (B - C)$ 的最大值．

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33. 已知 $a ， b ， c$ 分别为三角形 $A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且有 $2 s i n (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，求 $s i n C$ .

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34. 在平面四边形 $A B E C$ 中， $A C - A C c o s A = \sqrt{3} B C s i n ∠ A B C$ ， $E C = \sqrt{3} A C$ ， $∠ A C E = 12 0^{°}$ ， $∠ E B C = 3 0^{°}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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35. 在 $△ A B C$ ，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ ．
（I）求a的值；
（II）求 $c o s C$ 的值；
（III）求 $s i n (2 C - \frac{π}{6})$ 的值．

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