【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两角和与差的余弦公式

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α + β) = - 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α - β) = 1$

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2. 已知O为坐标原点，点P₁(cosα,sinα),P₂(cosβ，-sinβ),P₃(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),则（）

A、| $\vec{{OP}_{1}} |$ = $\vec{| {OP}_{2}} |$ B、 $| \vec{{AP}_{1}} |$ = $| \vec{{AP}_{2}} |$ C、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{3}}$ = $\vec{{OP}_{1}} \vec{\cdot {OP}_{2}}$ D、 $\vec{OA} \vec{\cdot {OP}_{1}} = \vec{{OP}_{2}} \vec{\cdot {OP}_{3}}$

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3. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有2个极值点 C、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、若 $f (α - \frac{π}{8}) f (β - \frac{π}{8}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 (α - β) = 1 + c o s 2 (α + β)$

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4. 下列等式能够成立的为（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $s i n 75 ° c o s 15 ° + c o s 75 ° s i n 15 ° = 1$ C、 $c o s 105 ° c o s 75 ° - s i n 105 ° c o s 15 ° = - 1$ D、 $\sqrt{3} s i n 15 ° + c o s 15 ° = 1$

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5. 冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上， $60$ 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 $60$ 个时间刻度的行进轨迹．若以图中 $12$ 点与圆心连线为始边，某时刻指向第 $1$ ， $21$ ， $41$ 名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为 $α ， β ， γ$ ，则 $c o s α + c o s β + c o s γ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $c o s α$

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6. 已知 $c o s θ + c o s (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $c o s (2 θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 若 $2 c o s^{2} (α - \frac{π}{3}) = 1 + c o s 2 α$ ，则 $t a n 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 在单位圆中，已知角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，现将角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ ，记此时角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

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9. 已知 $0 < α < β < 2 π$ ，函数 $f (x) = 5 s i n (x - \frac{π}{6})$ ，若 $f (α) = f (β) = 1$ ，则 $c o s (β - α) =$ （）

A、 $\frac{23}{25}$ B、 $- \frac{23}{25}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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10. $\frac{\sqrt{3}}{s i n \frac{π}{9}} - \frac{1}{s i n (- \frac{97 π}{18})} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知平面向量 ${\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2} ， {\vec{e}}_{3} ， | {\vec{e}}_{1} | = | {\vec{e}}_{2} | = | {\vec{e}}_{3} | = 1 ， ⟨ {\vec{e}}_{1} ， {\vec{e}}_{2} ⟩ = 6 0^{°}$ .若对区间 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 内的三个任意的实数 $λ_{1} ， λ_{2} ， λ_{3}$ ，都有 $| λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2} + λ_{3} {\vec{e}}_{3} | ⩾ \frac{1}{2} | \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + {\vec{e}}_{3} |$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{3}$ 夹角的最大值的余弦值为（）

A、 $- \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{3 - \sqrt{5}}{6}$

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12. $\frac{c o s 2 0^{∘} - s i n 3 0^{∘} c o s 4 0^{∘}}{\sqrt{3} s i n 4 0^{∘}} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα= $\frac{1}{3}$ ，则cos（α﹣β）= ．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ，当 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针旋转 $60 °$ 得到 $\vec{O B}$ ，则 $\vec{O B}$ 的坐标为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $c o s (A - B)$ 的值为.

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16. 已知 $α$ 为锐角，且 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{5}$ ，则 $c o s α =$ .

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17. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $t a n α = - 2$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{4}) =$ ．

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18. 已知定义在 $x \in [- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) + s i n 2 x$ 在 $x = θ$ 处取得最小值，则最小值为，此时 $c o s θ =$ ．

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19. 若 $s i n α = c o s (α + \frac{π}{6})$ ，则 $t a n 2 α$ 的值为．

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20. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{4}) =$

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21. $2 \cos 16 ° \cos 29 ° - \cos 13 °$ 的值等于.

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22. 已知 $α$ ､ $β$ 均为锐角，且 $c o s (α + β) = \frac{1}{7}$ ， $s i n (β - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s α =$ .

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23. 已知 $sin (2 α + \frac{π}{4})$ = $\frac{1}{2}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin 2 α$ ； $cos (4 α - \frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 α =$ ．

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三、解答题

24. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA＝ $\sqrt{3}$ a．
（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

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25. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（ $- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5}$ ）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= $\frac{5}{13}$ ，求cosβ的值．

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26. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s 2 A - c o s 2 B = 8 s i n B s i n C c o s A$ ．

(1)、证明： $t a n A = - 3 t a n B$ ；

(2)、若△ABC的面积为 $\frac{a^{2}}{6}$ ，求B．

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27. 已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c o s A + s i n B = \sqrt{3} (s i n A + c o s B)$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $A$ ；

(2)、已知点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $A D = B D = 2$ ，求 $C D$ 的取值范围．

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28. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $t a n B = \frac{s i n (C + \frac{π}{3})}{s i n (C - \frac{π}{6})}$ .

(1)、求A；

(2)、若D为边BC上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.

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29. $△ A B C$ 的三内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a b s i n C$ .点 $P$ 为边 $B C$ 上动点，点 $Q$ 为边 $A C$ 中点，记 $A P$ 交 $B Q$ 于点 $M$ ，若已知 $b = 3 ， c = 6$ .

(1)、当 $P C = P B$ 时，求 $c o s ∠ A M B$ .

(2)、当 $P C$ 长为何值时，从点 $P$ 处看线段 $A Q$ 的视角（即 $∠ A P Q$ ）最大？

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30. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，在① $a s i n C - c c o s (A - \frac{π}{6}) = 0$ ；② $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ ；③ $b s i n B + c s i n C - a s i n A - b s i n C = 0$ 中任选一个作为条件解答下面两个问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $b = 6$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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31. 在① $\frac{s i n C}{s i n A + s i n B} + \frac{b}{a + c} = 1$ ， ② $c c o s C s i n A = (2 b - c) s i n C c o s A$ 这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $| \vec{C B} - \vec{C A} | = 4$ ， $c o s B + c o s C = 1$ ，求△ABC的面积．

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32. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ D C B = 9 0^{∘} ， ∠ A B C = 6 0^{∘} ， A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 4$ .

(1)、求 $c o s ∠ D B C$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度.

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33. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $2 a s i n B = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求A；

(2)、求 $c o s B + c o s C$ 的取值范围．

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34. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b s i n A - \sqrt{3} a = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、求cosA+cosB+cosC的取值范围．

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35. 在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 1$ ，且 $(s i n A + c o s A) (s i n B + c o s B) = 2 c o s A c o s B$ ．

(1)、求∠C的大小；

(2)、若△ABC的面积 $S ≥ \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求角A的最大值．

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