【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：反三角函数

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1.
如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）

A、 $R ar \cos \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{π R}{4}$ C、 $R ar \cos \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{π R}{3}$

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2. 已知 $\sin x = 1, x \in [0, 2 π]$ ，则 $x$ 等于（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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3. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下： $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ， $- π < φ < π$ ，下列判断错误的是（）

A、当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a}$ B、当 $a > 0$ ， $b < 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} + π$ C、当 $a < 0$ ， $b > 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} + π$ D、当 $a < 0$ ， $b < 0$ 时，辅助角 $φ = \arctan \frac{b}{a} - π$

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二、填空题

4. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面边长为2， $P A = P B = P C = 2$ ， $P B$ ， $P C$ 中点分别为D ， E ，则直线 $A E$ 、 $C D$ 的夹角为．

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5. 已知 $c o s x = - \frac{3}{5}$ ， $x \in [0 ， π]$ ，则满足条件的x=(结果用反三角记号表示)

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6. 已知 $x \in [0 ， π]$ ，向量 $\vec{a} = (s i n x ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， c o s x)$ ，当 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 取到最大值时， $x$ 的值是．

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7. 已知 $c o s x = - \frac{3}{4}$ ， $x \in [0 ， π]$ ，则 $x$ 的解为．

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8. 若 $\tan x = \frac{1}{3}$ ， $x \in (π, 2 π)$ ，则x=（结果用反三角函数值表示）.

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9. 函数 $y = \sin x$ ， $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 的反函数记为 $g (x)$ ，则 $g (\frac{1}{2}) =$

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10. 求值： $\cos (\arcsin 0) =$

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11. 已知 $\sin α = \frac{1}{3}$ ， $α \in [0, 2 π]$ ，则 $α =$ （用反三角函数表示）

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12. $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan (- \sqrt{3}) =$ .

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13. 函数 $f (x) = \cos 2 x$ ， $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 的反函数是.

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14. 求值： $\arccos (\sin \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 三角方程 $\tan (x - \frac{π}{6}) = 3$ 的解集为.

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16. $\sin x = \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}]$ ，则 $x$ 用反正弦可以表示为.

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17. 已知 $\arcsin x < \arcsin (1 - x)$ ，则 $x$ 的取值范围为.

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18. $\arcsin (- \frac{1}{2}) + \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \arctan (- \sqrt{3}) =$ .

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19. 直线l的方程为 $| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ x & 2 & 3 \\ y & - 1 & 2 \end{matrix} | = 0$ ，则直线l的倾斜角为.

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20. 现将函数 $y = \sec x, x \in (0, π)$ 的反函数定义为正反割函数，记为： $y = a r c \sec x$ .则 $a r c \sec (- 4) =$ .（请保留两位小数）

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21. 求值： $\sin [\arccos (- \frac{2}{3})] =$ ．

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22. 函数 $y = \arccos (\sin x)$ ， $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 的值域是．

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23. 不等式 $\arccos x > \arccos (1 - x)$ 的解为

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24. 在△ $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 8$ ，则最大内角等于（用反三角函数值表示）

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25. 设 $3 \cos x + 2 = 0$ ，且 $x \in [π, \frac{3 π}{2}]$ ，则 $x =$

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26. 如图是正四面体的平面展开图， $M$ 、 $N$ 、 $G$ 分别为 $D E$ ， $B E$ ， $F E$ 的中点，则在这个正四面体中， $M N$ 与 $C G$ 所成角的大小为.（结果用反三角函数值表示）

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27. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，三条侧棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 两两垂直且相等， $M$ 是 $A B$ 中点，则 $O M$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示）

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28. 三角方程 $\sin x = \frac{1}{3}$ 满足 $x \in [0, 2 π]$ 的解构成的解集为（用反正弦表示）

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29. 求值： $\arccos 0 =$

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三、解答题

30. 在一个平面内，一质点 $O$ 受三个力 $\vec{F_{1}}$ 、 $\vec{F_{2}}$ 、 $\vec{F_{3}}$ 的作用保持平衡（即 $\vec{F_{1}}$ 、 $\vec{F_{2}}$ 、 $\vec{F_{3}}$ 的和为零向量），其中 $\vec{F_{3}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $α$ ， $\vec{F_{3}}$ 与 $\vec{F_{1}}$ 的夹角为 $β$ .

(1)、若 $α = 120^{\circ}$ ， $β = 150^{\circ}$ ， $| \vec{F_{3}} | = 10$ ，求力 $\vec{F_{1}}$ 、 $\vec{F_{2}}$ 的大小；

(2)、若 $| \vec{F_{1}} | ： | \vec{F_{2}} | ： | \vec{F_{3}} | = 1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{3}$ ，求 $α$ 与 $β$ .（用反三角函数表示）

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31. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，底面半径为1，点 $O$ 是圆心，过顶点 $S$ 的截面 $S A B$ 与底面所成的二面角 $S - A B - O$ 大小是 $60 °$ .

(1)、求点 $O$ 到截面 $S A B$ 的距离；

(2)、点 $C$ 为圆周上一点，且 $∠ B O C = \frac{π}{2}$ ， $D$ 是 $S B$ 中点，求异面直线 $S O$ 与 $C D$ 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

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