【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，所得图象对应的函数（）

A、在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 B、在区间 $[\frac{π}{4} ， 0]$ 上单调递减 C、在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减

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2. 已知曲线C₁：y=cosx，C₂：y=sin（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ），则下面结论正确的是（　　）

A、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ B、把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂ C、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线C₂ D、把C₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线C₂

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3. 为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y= $\sqrt{2}$ cos3x的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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4. 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{1}{2}$ 个单位长度 C、向左平行移动1个单位长度 D、向右平行移动1个单位长度

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5. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）

A、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = \sqrt{2} c o s 2 x$ C、 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = \sqrt{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$

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6. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $y = f (x)$ 的说法正确的是（）
① $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{4}$ 对称
② $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称
③将函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象
④若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2 ， - \sqrt{3}]$

A、①④ B、②④ C、③④ D、②③

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程是 $x = \frac{2}{3} π$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到正弦函数 $g (x) = s i n x$ 的图象

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8. 函数 $f (x) = A s i n (2 x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ D、 $f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数

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9. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、函数 $f (x - \frac{π}{6})$ 是偶函数

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10. 将函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $g (x)$ 的一个极值点，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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11. 将函数 $y = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 图像上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到曲线C．若曲线C的图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12. 对于函数 $f (x) = 2 s i n x (c o s x - s i n x) + 1$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 1)$ 中心对称

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13. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ ，其图象相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12})$ ，则在下列区间中， $f (x)$ 为单调递减函数的是（）

A、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ B、 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}]$ D、 $[\frac{7 π}{12} ， π]$

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω \in N *)$ 满足在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后关于原点对称 C、 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 上单调递增

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 \leq φ < 2 π$ ）满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，其图象与 $x$ 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 $(6 ， 0)$ ，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为.

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16. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 $A (1 ， - \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当 $t \in [0 ， m)$ 时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $B$ 是某个三角形的内角，若关于 $a$ 的不等式 $f (B) \leq e^{a} - a$ 在 $R$ 上恒成立，则 $B$ 的取值范围为．

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18. 若将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则 $ω$ 的最小值为.

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19. 已知 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是周期为 $π$ 的偶函数，则函数 $f (x) =$ （写出符合条件的一个函数解析式即可）

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为， $f (x)$ 的图象向左平移m(m>0)个单位可得到 $g (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象，则m的最小值为.

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21. 若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $A =$ ， $f (0) =$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) \cos φ + \cos (ω x + φ) \sin φ$ （其中 $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象相邻的两个对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且满足 $f (\frac{π}{12} + x) = f (\frac{π}{12} - x)$ ，则 $φ =$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (0)$ 的值为.

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24. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ (其中 $ω$ ＞0， $- \frac{π}{2} < φ \leq \frac{π}{2}$ )部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{2})$ 的值为．

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三、解答题

25. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ $\frac{π}{2}$ ≤φ＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象关于直线x= $\frac{π}{3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．

(1)、求ω和φ的值；

(2)、若f（ $\frac{α}{2}$ ）= $\frac{\sqrt{3}}{4}$ （ $\frac{1}{4}$ ＜α＜ $\frac{2 π}{3}$ ），求cos（α+ $\frac{3 π}{2}$ ）的值．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 a \sin^{2} x + a$ ( $a > 0$ )，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
条件①： $f (x)$ 的最大值为2；条件②： $f (\frac{π}{2}) = - 1$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、 $a$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间．

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27. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 $π$ ；②最大值为2；③ $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；④ $f (0) = - 2$ ．

(1)、写出能确定 $f (x)$ 的三个条件，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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28. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $2 π$ ，且 $f (x)$ 的图像过坐标原点．

(1)、求 $ω$ 、 $φ$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $2 f^{2} (B) + 3 f^{2} (C) = 2 f (A) \cdot f (B) \cdot f (C) + f^{2} (A)$ ，且三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，试求 $\frac{b \cdot f (B + C)}{c}$ 的值．

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29. 已知函数 $f (x) = λ \sin (ω x + φ)$ ( $λ > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示， $A$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $B$ ， $C$ 分别为图象的最高点和最低点， $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，点 $B$ 的坐标为 $(\frac{1}{3} ， λ)$ ，求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值.

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30. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

时刻	0：00	1：00	2：00	3：00	4：00	5：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	6：00	7：00	8：00	9：00	10：00	11：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754
时刻	12：00	13：00	14：00	15：00	16：00	17：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	18：00	19：00	20：00	21：00	22：00	23：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754

(1)、这个港口的水深与时间的关系可用函数

y = A \sin (ω x + φ) + b

（

A > 0

，

ω > 0

）近似描述，试求出这个函数解析式；

(2)、一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？

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31. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + B$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ .

（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 解析式；

（Ⅱ）求 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的值域.

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32. 若函数 $f (x) = M \sin (ω x + φ)$ (M＞0， $ω$ ＞0，0＜ $φ$ ＜ $π$ )的最小值是﹣2，最小正周期是2 $π$ ，且图象经过点N( $\frac{π}{3}$ ，1).

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在△ABC中，若 $f (A) = \frac{8}{5}$ ， $f (B) = \frac{10}{13}$ ，求cosC的值.

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33. 已知函数 $f (x) = A \sin (x + φ) (A > 0, 0 < φ < π)$ 的最小值是－2，其图象经过点 $M (\frac{π}{3}, 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (α) = \frac{8}{5}$ ， $f (β) = \frac{24}{13}$ ，求 $f (α - β)$ 的值．

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34. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为3，

(1)、求常数 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ ，求函数 $y = g (x)$ 的解析式.

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35. 将函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $f (x)$ 的图象.

(1)、写出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x$ $\in$ $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{12}]$ ， $f^{2} (x) - m f (x) - 1 \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得 $F (x) = f (x) - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有 $2019$ 个零点.

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