【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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2. 为了得到函数 $y = 2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

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3. 为了得到函数 $y = \cos (x - \frac{1}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{3}$ 个单位长度

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4. 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数y=sin(x- $\frac{π}{4}$ )的图像，则f(x)=（）

A、sin( $\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12}$ ) B、sin( $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ ) C、sin( $2 x - \frac{7 π}{12}$ ) D、sin( $2 x + \frac{π}{12}$ )

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5. 已知函数 $f (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = 2$ ，一个周期为4，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $s i n (\frac{π}{2} x)$ B、 $c o s (\frac{π}{2} x)$ C、 $s i n (\frac{π}{4} x)$ D、 $c o s (\frac{π}{4} x)$

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6. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 为了得到函数 $y = 3 s i n (2 x - \frac{π}{5})$ 的图象，只要把 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{5})$ 图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{2 π}{5}$ 个单位长度

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8. 先把函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{3})$ 的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，函数 $g (x)$ 的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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9. 将函数 $y = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{ϕ}{ω} (0 < ϕ \leq \frac{π}{2})$ 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，且 $y = g (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若 $g (x) > - 1$ 对任意 $x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ 恒成立，则 $ϕ$ 的取值范围是

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{4 π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{6} ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、将函数 $y = c o s x$ 图象上各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $y = 4 f (x) + \sqrt{2 x + \frac{π}{3}}$ 的零点个数为7

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11. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + k$ ，（ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、 $A = 4$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = \frac{π}{3}$ D、 $k = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n 2 ω x - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象上距离原点最近的对称中心为（）

A、 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{24} ， 0)$ C、 $(- \frac{π}{48} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{48} ， 0)$

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13. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{3}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[3 ， 6]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$ C、 $c o s [\frac{π}{6} (x_{2} - x_{1})] = \frac{3}{4}$ D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线斜率为 $\sqrt{3}$

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14. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下所示，其中 $A (\frac{π}{12} ， 2) ， B (\frac{7 π}{12} ， 0)$ ，为了得到 $g (x) = 2 s i n 2 x$ 的图象，需将（）

A、函数 $f (x)$ 的图象的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍后，再向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度 B、函数 $f (x)$ 的图象的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 后，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍

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15. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{3})$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期 $T = 2$ ，则 $ω = π$ B、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $g (x) = c o s 2 x$ 的图象 C、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $[1 ， \frac{5}{3}]$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有一个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{1}{6} ， \frac{7}{6}]$

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二、填空题

16. 已知函数 $f （ x ） = s i n （ ω x + φ ）$ ，如图A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f （ x ）$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f （π） =$ .

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17. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A ， B ， C$ 是曲线 $y = f (x)$ 与坐标轴的交点，过点 $C$ 的直线 $y = 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 的另一交点为 $D$ ．若 $| C D | = \frac{2 π}{3}$ ，则 $| A B | =$ .

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18. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上具有单调性，且 $x = \frac{2 π}{9}$ 为 $f (x)$ 的一个零点，则 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{18})$ 上单调递（填增或减），函数 $y = f (x) - l g x$ 的零点个数为．

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19. 如图，函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于点 $D$ ， $O ($ 坐标原点 $)$ 为 $△ A B D$ 的重心 $($ 三条边中线的交点 $)$ ，其中 $A (- π ， 0)$ ，则 $t a n B =$ ．

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20. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $A (\frac{π}{2} ， 1)$ ， $B (\frac{11 π}{8} ， \sqrt{2})$ 为 $y = f (x)$ 的图象上两点，则 $f (2 π) =$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + 2 c o s (\frac{π}{2} - x)$ ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 是奇函数；
③ $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， \frac{3}{2}]$ ；④ $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增．

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22. 已知点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 、 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 是函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图像上的任意两点，且角 $φ$ 的终边经过点 $P (\sqrt{3} ， 1)$ ，若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 \sqrt{2}$ ， $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ .

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23. 若函数 $y = s i n (2 ω x + \frac{π}{3})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后与函数 $y = c o s (2 ω x + \frac{π}{4})$ 的图象重合，则 $ω$ 的一个可能的值为；

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24. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图形如图所示，求函数 $f (x)$ 的解析式．

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25. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则 $φ =$ ．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{3})$ ，将 $y = f (x)$ 的图象上所有点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将所得函数图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 图象，若 $g (x) = \frac{3}{2}$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有 $n$ 个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ ，则 $t a n (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}) =$ .

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三、解答题

27. 如图，已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ ， $B$ ， $C (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于另一点 $D$ ， $O$ 是 $△ A B D$ 的重心.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求 $△ A C D$ 的外接圆的半径.

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28. 已知函数 $f (x) = - s i n^{2} x + \sqrt{3} s i n x c o s x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调区间．

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29. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $φ$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $f (\frac{C}{2} - \frac{π}{12}) = 1$ ， $\sqrt{2} a - b = 1$ ，求c的取值范围.

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30. 将① $s i n^{2} A + s i n B s i n C = s i n^{2} B + s i n^{2} C$ ， ② $2 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ ， ③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ 之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知锐角 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____.

(1)、求角A；

(2)、若 $f (x) = c o s x s i n (x + \frac{α}{2}) (\frac{π}{3} < α < \frac{5 π}{6})$ ， $c o s (α - A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，当 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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31. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①： $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ；
条件②： $f (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， $A = \frac{π}{6}$ ， $a = f (A)$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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32. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{4}) (A > 0 ， 0 < ω < 1)$ ， $f (\frac{π}{4}) = f (\frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{3 π}{4})$ 上的最大值为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $\sin 2 α$ 的值．

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33. 已知函数 $f (x) = M s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在 $∠ A$ 为锐角的 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $f (\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ ， $b + c = 2 + 3 \sqrt{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3$ ，求 $a$ 的值.

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34. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (x \in R ， A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，若边 $B C = 1$ ，且 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{12}) = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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35. 已知函数 $y = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图，将该函数图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，再把所得曲线上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $f (x)$ 的图象．设 $g (x) = f (x) \cdot s i n x$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的最小正周期T；

(2)、在三角形ABC中，AB=6，D是BC的中点，AD= $\sqrt{19}$ ，设∠BAC= $θ$ ， $c o s θ < 0$ ， $g (θ) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求三角形ABC的面积．

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36. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω \in N^{*} ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称，且在区间 $(- \frac{5 π}{12} ， 0)$ 上单调递增；

(1)、求 $f (x)$ 解析式．

(2)、若 $f (\frac{π}{2}) < 0$ ，将函数 $f (x)$ 的图象所有的点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到 $g (x)$ 的图象；若 $g (x) = m$ 在 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上恰有两个零点，求 $m$ 的取值范围．

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