【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数的单调性

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ )单调递增的是（）

A、f(x)=│cos2x│ B、f(x)=│sin 2x│ C、f(x)=cos│x│ D、f(x)= sin│x│

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2. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)$ ， $\forall x \in R$ ， $f (x) ≤ f (\frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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3. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{2}{3}$ ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{3}$ B、 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{9} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 的图象关于直线x＝ $\frac{4 π}{9}$ 对称 D、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{9} ， 0)$ 中心对称

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4. 先将函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{3})$ 图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再把所得函数图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法错误的是 $（）$

A、函数 $g (x)$ 是奇函数 B、函数 $g (x)$ 的最小正周期是 $π$ C、函数 $g (x)$ 图像关于直线 $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$ 对称 D、函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增

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5. 设函数 $f (x) = a c o s x + b s i n x$ （a，b为常数），则“ $a b = 0$ ”是“ $f (x)$ 为偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (2) < f (1) < f (0)$ B、 $f (2) < f (0) < f (1)$ C、 $f (0) < f (2) < f (1)$ D、 $f (1) < f (2) < f (0)$

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7. 直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x - \frac{π}{3}) = - 2 \cos 2 x$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$ 上是减函数 C、 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}$ 为等差数列 D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{12} = 34 π$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上恰好能取到2次最大值，则下列说法中正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有5个零点 B、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{8}{3} ， \frac{14}{3})$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上一定有极值 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上不单调

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9. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为 $S (t) = 3 s i n (ω t + φ) (ω > 0)$ ，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为 $S_{0} (- 3 < S_{0} < 3)$ 的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，且 $t_{1} + t_{2} = 2$ ， $t_{2} + t_{3} = 4$ ，则下列为 $S (t)$ 的单调区间的是（）

A、 $[k ， k + 1] (k \in N)$ B、 $[k + \frac{1}{2} ， k + \frac{3}{2}] (k \in N)$ C、 $[k ， k + 2] (k \in N)$ D、 $[k + \frac{3}{2} ， k + \frac{5}{2}] (k \in N)$

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（）

A、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度后图象关于y轴对称 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后的图象关于坐标原点对称 C、 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是它的一个对称中心 D、单调递减区间是 $(2 k π + \frac{π}{12} ， 2 k π + \frac{7 π}{12}) (k \in Z)$

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11. 法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）证明了所有的乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数 $y = A s i n ω x (A ， ω \neq 0)$ 之和，若某一乐声的数学表达式为 $f (x) = \frac{3}{4} s i n x + \frac{1}{4} s i n 3 x$ ，则关于函数 $f (x)$ 有下列四个结论：
① $f (x)$ 的一个周期为2 $π$ ；② $f (x)$ 的最小值为－ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；③ $f (x)$ 图像的一个对称中心为（ $\frac{π}{3}$ ， 0）；④ $f (x)$ 在区间（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ）内为增函数．

其中所有正确结论的编号为（）

A、①③ B、①② C、②③ D、①②④

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二、填空题

12. 若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ）是减函数，则a的取值范围是．

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13. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ，若对任意的 $x \in R ， f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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14. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{5 π}{18})$ 存在唯一极值点，且在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围为.

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15. 若函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 在 $[0, a]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为

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16. 将函数 $f (x) = sin \frac{x}{2} - \sqrt{3} cos \frac{x}{2}$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是.

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17. 将函数 $f (x) = 1 - 2 \sqrt{3} {cos}^{2} x - {(sin x - cos x)}^{2}$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ ，则函数 $g (x)$ 的单调递增区间是．

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三、解答题

18. 已知函数f（x）= $\frac{(\sin x - \cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．

(1)、求f（x）的定义域及最小正周期；

(2)、求f（x）的单调递增区间．

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19. 已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

(1)、求ω的值；

(2)、求f（x）的单调递增区间．

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20. 已知 $f (x) = \sqrt{3} s i n w x + 3 c o s w x (w > 0)$

(1)、设 $y = f (x + θ) (0 < θ < \frac{π}{2})$ 是周期为 $π$ 的偶函数，求 $w ， θ$ ；

(2)、若 $g (x) = f (3 x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ 上是增函数，求 $w$ 的最大值；并求此时 $g (x)$ 在 $[0 ， π]$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a s i n ω x c o s ω x (a ＞ 0 ， ω ＞ 0)$ .从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 c o s^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递增区间.
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a - \sqrt{3} b) s i n A = (c - b) (s i n C + s i n B)$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $s i n A + c o s B$ 的取值范围．

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $φ$ 的终边与单位圆的交点为 $A$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 3$ 与 $x$ 轴正半轴的交点是 $P_{0}$ .若圆 $C$ 上一动点从 $P_{0}$ 开始，以 $π rad / s$ 的角速度逆时针做圆周运动， $t$ 秒后到达点 $P$ .设 $f (t) = {| A P |}^{2}$ .

(1)、若 $φ = \frac{π}{3}$ 且 $t \in (0 ， 2)$ ，求函数 $f (t)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{1}{3}) = 2$ ， $\frac{π}{3} < φ < \frac{5 π}{6}$ ，求 $f (\frac{5}{6})$ .

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24. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象与 $x$ 轴的相邻两个交点之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且图象上一个最低点为 $M (\frac{2 π}{3}, - 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值及相应的x的值.

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25. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) + m (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① $ω = \frac{3}{2}$ ，②周期 $T = π$ ，③过点 $(0, 0)$ ，④ $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ ．

(1)、写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点间的最短距离．

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26. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x - 2 {sin}^{2} x$ ．

(1)、若角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间和值域．

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27. 已知向量 $\vec{a} = (sin x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} cos x ， - \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，其中 $A$ 为锐角， $a = \sqrt{3} ， c = 1$ ，且 $f (A) = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ．

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28. 已知函数 $f (x) = 4 tan x sin (\frac{π}{2} - x) cos (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ ；

(1)、求 $f (x)$ 的定义域与最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的单调性与最值.

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29. 已知函数 $f (x) = 2 sin 8 x cos 4 x sin (4 x + \frac{π}{6}) - cos 8 x sin 4 x (\sqrt{3} sin 4 x + cos 4 x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的在区间 $[- \frac{π}{24} ， \frac{π}{12}]$ 上的最值.

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30. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $\frac{π}{6} < α < \frac{π}{2}$ ，且 $f (α) = \frac{5}{3}$ ，求 $s i n 2 α$ 的值.

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31. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (s i n x + \sqrt{3} c o s x)$ ．

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若关于x的方程 $f^{2} (x) - (1 + m) f (x) + m = 0$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上恰有三个不同的实根，求实数m的取值范围．

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32. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $π$ ，其中 $ω > 0$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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33. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{6}) + 2 s i n^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间：

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，且 $f (x_{0}) = \frac{4}{3}$ ，求 $s i n 2 x_{0}$ 的值.

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