【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数的值域与最值

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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2. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $\frac{s i n B s i n C}{3 s i n A} = \frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c}$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $\frac{c^{2}}{a + b}$ 的可能取值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ， $f (x) + f (\frac{4 π}{3} - x) = 0$ ， $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）．

A、3 B、5 C、6 D、7

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4. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 $\frac{1}{2}$ ；
②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $y = a (x - 2)$ 与黑色阴影部分有公共点；
③黑色阴影部分中一点 $(x ， y)$ ，则 $x + y$ 的最大值为2．
其中所有正确结论的序号是

A、① B、② C、①③ D、①②

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5. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ．给出以下几个结论：
①若对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $ω$ 的最小值为2；

②若对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x) = - f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $ω$ 的最小值为5；

③若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的极小值点有且仅有2个，则 $\frac{20}{3} < ω \leq \frac{32}{3}$ ．

其中，正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图像，若对于任意的 $x \in R ， g (x) \leq | g (\frac{π}{24}) |$ ，则 $a$ 值可以为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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7. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6})$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增，且对任意 $x \in [\frac{π}{8} ， \frac{π}{4}]$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{4}{3} ， 2]$ B、 $(\frac{4}{3} ， 2)$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $(1 ， 3)$

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8. 已知函数 $f (x) = 3 c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，关于函数 $g (x)$ ，下列选项不正确的是（）

A、最小正周期为 $π$ B、 $g (x) = 3 c o s (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $g (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{12} ， 0) (k \in Z)$ D、当 $x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{3} (k \in Z)$ 时， $g (x)$ 取得最大值

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9. 设 $P_{1} (1 - s i n α ， 0)$ ， $P_{2} (0 ， - c o s α)$ ，则 $| \vec{O P_{1}} - \vec{O P_{2}} |$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 若函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 1$ ，则 $ω$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{7 π}{3}$ B、 $\frac{10 π}{3}$ C、 $4 π$ D、 $\frac{19 π}{3}$

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11. 已知定义在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ （）

A、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[5 ， 9)$ B、若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(5 ， 9]$ C、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为2 D、若 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{ω}{5}$ ，则 $ω$ 的取值个数最多为3

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二、填空题

12. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中点，F在CC₁上，且CF＝2FC₁ ，点P是侧面AA₁D₁D（包括边界）上一动点，且PB₁∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x + \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小值是.

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14. 已知 $ω \in R ， ω > 0$ ，函数 $y = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有唯一的最小值-2，则 $ω$ 的取值范围为．

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15. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s x (0 < φ < π)$ 的最大值为 $2$ ，则常数 $φ$ 的值为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $\sin (A - B) = \sin C - \sin B$ ，则 $\cos A =$ ；点 $D$ 是 $B C$ 上靠近点 $B$ 的一个三等分点，记 $\frac{\sin ∠ A B D}{\sin ∠ B A D} = λ$ ，则当 $λ$ 取最大值时， $\tan ∠ A C D =$ ．

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17. 设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上运动(包含B，C两个端点)，∠BAC＝ $\frac{2 π}{3}$ ，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，x＋y的取值范围为．

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18. 某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地 $P Q R$ ，其中 $P$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上， $P Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ， $P R ⊥ A C$ ，垂足为 $R$ ，设 $∠ P A B = α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，则 $P Q =$ （用 $α$ 表示）；当 $P$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是.

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19. 已知点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为.

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21. 已知单位向量 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}} ， \vec{e_{3}} ， \vec{e_{4}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{31}{32}$ ， $0 < \vec{e_{3}} \cdot \vec{e_{4}} ⩽ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则对任意 $t \in R$ ， $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}} + t \vec{e_{4}} |$ 的最小值为.

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22. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{c} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{c} | = | \vec{b} - \vec{c} | = \sqrt{13}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值是.

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23. 若向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{M A} - \vec{M B} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{M A} + \vec{M B} |$ 的最大值为.

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三、解答题

24. 已知函数f(x)=sin²xsin2x.

(1)、讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)、证明： $| f (x) | \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；

(3)、设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^{n}}{4^{n}}$ .

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25. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

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26. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 c^{2} = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) (t a n A + t a n B)$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若边 $a = \sqrt{2}$ ，边 $B C$ 的中点为 $D$ ，求中线 $A D$ 长的取值范围.

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27. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 中三内角A，B，C的对边，且 $b = 1$ ， $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C = 1 + c$ ， D为直线BC上一动点．

(1)、求A；

(2)、在① $c = 3$ ， ② $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， ③ $s i n B = \frac{\sqrt{21}}{14}$ 这三个条件中任选一个，求线段AD长度的最小值．

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28. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且 $a + 2 b + 3 c = 4$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $\sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \frac{\sqrt{10}}{2}$ ；

(2)、若 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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29. 已知 $f (x) = 2 c o s x \cdot s i n (x + \frac{π}{6})$ ， $x ∈ R$ ， $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的，边分别为a，b，c，若 $f (x)$ 的最大值为 $f (A)$ .

(1)、求A；

(2)、当 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ 时，求 $△ A B C$ 的面积.

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30. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 $2 b s i n A = \sqrt{3} a$ ．

(1)、求角B；

(2)、求 $c o s A + c o s B + c o s C$ 的最大值．

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31. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B D = \sqrt{3}$ ， $∠ A B D = ∠ A C D = \frac{π}{6}$ ，设 $∠ C A D = θ ， θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、当 $θ$ 为何值时， $△ B C D$ 的面积取得最大值，并求出该最大值．

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32. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （θ为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求圆 $C_{1}$ 的极坐标方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设射线 $l ： θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ 与圆 $C_{1}$ 交于异于原点 $O$ 的一点 $M$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于点 $N$ ，求 $△ O C_{1} M$ 与 $△ O C_{1} N$ 面积之比的最大值.

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33. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = r c o s θ \\ y = r s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数，常数 $r > 0$ ）．以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 8 ρ s i n θ + 15 = 0$ ．
（Ⅰ）若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求 $r$ 的取值范围；
（Ⅱ）若 $r = 1$ ，过曲线 $C_{1}$ 上任意一点 $P$ 作曲线 $C_{2}$ 的切线，切点为 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最小值．

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34. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (ρ \in R)$ ，其中 $α$ 为常数且 $α \in [0 ， π)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |}$ 的取值范围．

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35. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} + c o s α \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} + s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中， $M ， N$ 是曲线 $C$ 上的两点，若 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，求 $| O M | + | O N |$ 的最大值.

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