【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数的周期性3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（ $\frac{5 π}{8}$ ）=2，f（ $\frac{11 π}{8}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ= $\frac{π}{12}$ B、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{12}$ C、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{24}$ D、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ= $\frac{7 π}{24}$

查看试题解析
2. 设函数f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ），则下列结论错误的是（）

A、f（x）的一个周期为﹣2π B、y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{8 π}{3}$ 对称 C、f（x+π）的一个零点为x= $\frac{π}{6}$ D、f（x）在（ $\frac{π}{2}$ ，π）单调递减

查看试题解析
3. 设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ $\frac{5 π}{8}$ ）=2，f（ $\frac{11 π}{8}$ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　）

A、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ= $\frac{π}{12}$ B、ω= $\frac{2}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{12}$ C、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ=﹣ $\frac{11 π}{24}$ D、ω= $\frac{1}{3}$ ，φ= $\frac{7 π}{24}$

查看试题解析
4. 函数y= $\sqrt{3}$ sin2x+cos2x的最小正周期为（　　）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、π D、2π

查看试题解析
5. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = | c o s 2 x |$ B、 $f (x) = | s i n 2 x |$ C、 $f (x) = s i n 4 x$ D、 $f (x) = c o s 2 x$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期 $T \geq \frac{3 π}{4}$ ，且 $x = \frac{7 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴， $(\frac{π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心，则函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \sqrt{3}]$ B、 $(- 1 ， 2]$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- 1 ， 2]$

查看试题解析
7. 已知f(x)=sin( $\frac{π}{2}$ +x)cos( $\frac{π}{2}$ -x)-cos²x+3tan $\frac{25 π}{4}$ ，则（）

A、f(x)的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、f(x)的对称轴方程为x= $\frac{3 π}{4}$ +kπ(k∈Z) C、f(x)的单调递增区间为[kπ- $\frac{π}{8}$ ，kπ+ $\frac{3 π}{8}$ ](k∈Z) D、当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，f(x)的值域为[3， $\frac{5 + \sqrt{2}}{2}$ ]

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = (a \sin x + \cos x) \cos x - \frac{1}{2}$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $(- \frac{7 π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 是最小正周期为 $π$ 的奇函数 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、先将函数 $y = 2 \sin 2 x$ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后把所得函数图象再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，即可得到函数 $f (x)$ 的图象

查看试题解析
9. 下面四个命题，其中所有真命题的编号为（）
①函数 $y = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ ；②终边在 $x$ 轴上的角的集合是 ${α | α = k π ， k \in Z}$ ；③把函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象；④函数 $y = \sin (x - \frac{π}{2})$ 在区间 $[0 ， π]$ 上单调递减．

A、②③ B、②④ C、①③ D、①④

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x - \sin 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $f (x)$ 在区间在 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 上单调递减

查看试题解析
11. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 ω x + 2 \sin^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 1$ B、若 $ω = 1$ ，则 $(- \frac{5}{12} π ， 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 C、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， π)$ 内单调，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ D、若 $g (x) = f (x) - 4 ω x$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有2个极值点，则 $\frac{13}{12} < ω \leq \frac{25}{12}$

查看试题解析
12. 将函数 $y = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x + 1$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下面对函数 $g (x)$ 的叙述中正确的是（）

A、函效 $g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $g (x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 内单调递增 D、函数 $g (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ B、 $ω$ 的取值花围为 $[\frac{7}{3} ， \frac{10}{3})$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且只有一个最大值点

查看试题解析
14. 将函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则（）

A、 $y = g (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称 B、 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 C、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $g (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减

查看试题解析

二、填空题

15. 将函数 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{6})$ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则 $g (x)$ 的最小正周期是

查看试题解析
16. 函数 $y = {(sin x + cos x)}^{2}$ 的最小正周期是

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调，且 $f (0) = f (\frac{5 π}{6}) = - f (\frac{π}{3})$ ，则正数 $ω$ 的值为．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = 12 s i n 2 π x + 13 cos 2 π x$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为

查看试题解析
19. 已知函数f（x）=asin2x+（a+1）cos2x，a∈R，则函数f（x）的最小正周期为，振幅的最小值为．

查看试题解析
20. 若函数 $f (x) = 1 + a sin (a x + \frac{π}{6}) (a > 0)$ 的最大值为 $3$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为．

查看试题解析
21. 函数 $y = sin 2 x$ 的最小正周期为

查看试题解析
22. 函数y=2sinωx+2sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）（ω＞0）的最小正周期为2π，若x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），则函数取得最大值时的x= ．

查看试题解析
23. 函数f（x）= $| \begin{matrix} \sin x & 2 \cos x \\ 2 \cos x & \sin x \end{matrix} |$ 的最小正周期是．

查看试题解析
24. 函数 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期为．

查看试题解析

三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

查看试题解析
26. 已知函数 $f (x) = 2 cos (\frac{π}{2} - x) cos (2 π - x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $y = f (x) + cos 2 x$ 的最大值与最小值.

查看试题解析
27. 已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{7 π}{4}) + cos (x - \frac{3 π}{4})$
(Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；
(Ⅱ)求函数 $y = f (- x)$ 的单调减区间.

查看试题解析
28. 已知函数f（x）=sinxsin $(\frac{π}{2} - x) + \sqrt{3} c o s^{2}$ x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

查看试题解析
29. 设函数f（x）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cos（2x+ $\frac{π}{4}$ ）+sin²x．

(1)、求函数f（x）的最小周期；

(2)、设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+ $\frac{π}{2}$ ）=g（x），且当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，g（x）= $\frac{1}{2}$ ﹣f（x）．求函数g（x）在[﹣π，0]上的解析式．

查看试题解析
30. 已知函数f（x）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ）+sin²x．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+ $\frac{π}{6}$ ），求函数g（x）在[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上的值域．

查看试题解析
31. 已知函数f（x）=2 $\sqrt{3}$ sin（π﹣x）cosx+2cos²x+a﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．

查看试题解析
32. 已知 $x_{0} = \frac{π}{3}$ 是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - \frac{c}{2}$ 的取值范围．

查看试题解析
33. 已知 $x_{0} = \frac{π}{3}$ 是函数f（x）=msinωx﹣cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - \frac{c}{2}$ 的取值范围．

查看试题解析
34. 已知向量m $\vec{m}$ （sin $\frac{x}{2}$ ，1）， $\vec{n}$ =（1， $\sqrt{3}$ cos $\frac{x}{2}$ ），函数f（x）= $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、若f（α﹣ $\frac{2 π}{3}$ ）= $\frac{2}{3}$ ，求f（2α+ $\frac{π}{3}$ ）的值．

查看试题解析
35. 已知向量 $\vec{m}$ =（sinx，﹣1），向量 $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ cosx，﹣ $\frac{1}{2}$ ），函数f（x）=（ $\vec{m}$ + $\vec{n}$ ）• $\vec{m}$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期T；

(2)、已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2 $\sqrt{3}$ ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值，求A和b．

查看试题解析