【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数的周期性2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 若 $x_{1} = \frac{π}{4}$ ， $x_{2} = \frac{3 π}{4}$ 是函数f（x）= sinωx（ω>0）两个相邻的极值点，则ω（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ )单调递增的是（）

A、f(x)=│cos2x│ B、f(x)=│sin 2x│ C、f(x)=cos│x│ D、f(x)= sin│x│

查看试题解析
3. 已知函数f(x)=2cos²x-sin²x+2，则（）

A、f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B、f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C、f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D、f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ （ $ω$ ， $φ$ 是常数， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ），若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 上具有单调性，且 $f (- \frac{π}{24}) = - f (\frac{5 π}{24}) = - f (\frac{11 π}{24})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[- \frac{π}{6} + k π ， \frac{π}{3} + k π]$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 图像的对称轴为直线 $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 的图像可由 $g (x) = s i n ω x$ 的图像向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度得到

查看试题解析
5. 若函数 $y = \sqrt{6} s i n ω x$ 与 $y = \sqrt{6} c o s ω x$ 图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、π

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象，如图所示，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减 C、曲线 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 关于直线 $x = - \frac{π}{2}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{4 π}{3}]$ 上的最小值是－1

查看试题解析
7. 若 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x) = c o s ω x (ω \neq 0)$ 图象的对称轴，则 $f (x)$ 的最小正周期的最大值是（）

A、π B、 $2 π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

查看试题解析
8. 已知某简谐振动的振动方程是 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0)$ ，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为 $\sqrt{3}$ ．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）

A、0.125Hz B、0.25Hz C、0.4Hz D、0.5Hz

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = t a n x s i n 2 x$ 的最小正周期和最小值分别为（）

A、 $\frac{π}{2}$ 和-1 B、 $\frac{π}{2}$ 和0 C、 $π$ 和-1 D、 $π$ 和0

查看试题解析
10. 定义域为R的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x + l o g_{2} (5 x)$ ，则 $f (\frac{2022}{5}) =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、0

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = | s i n x | s i n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 在 $(- 2 π ， - \frac{3 π}{2})$ 上单调递增

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{| s i n \frac{x}{2} |} + \sqrt{| c o s \frac{x}{2} |}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的最小值为1 D、 $f (x)$ 的最大值为 $2^{\frac{3}{4}}$

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x + a c o s ω x (ω > 0)$ 图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且 $f (0) + f (\frac{π}{6}) = 6$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间单调递增的是（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ B、 $(- π ， - \frac{5 π}{6})$ C、 $(π ， \frac{4 π}{3})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

查看试题解析

二、填空题

14. 函数f（x）=sin²2x的最小正周期是.

查看试题解析
15. 函数 $f (x) = 3 \cos (2 x + \frac{π}{5})$ 的最小正周期为．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则ω=.

查看试题解析
17. 写出一个最小正周期为2的奇函数 $f (x) =$ ．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），当 $| f (m) - f (n) | = 4$ 时， $| m - n |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位后所得函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为.

查看试题解析
19. 若函数 $f (x) = a \sin ω x + \cos ω x$ ( $ω > 0$ )与函数 $g (x) = 2 \cos (x + \frac{π}{3})$ 有相同的最小正周期，存在 $x_{1} \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，且 $x_{2} \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则其最小正周期 $T =$ ， $f (\frac{π}{3}) =$ ．

查看试题解析
21. 函数 $f (x) = - 3 \sin (π x + 2)$ 的最小正周期为；值域为.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = \sin ω x$ （ $0 < ω < 2$ ），将 $f (x)$ 图像向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 单位后所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，则 $ω =$ ．

查看试题解析
23. 函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sin x \cos x + 1$ 的最小正周期是，单调递减区间是．

查看试题解析
24. 已知函数 $f (x) = 9 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，当 $x \in [0 ， 10 π]$ 时，把函数 $F (x) = f (x) - 6$ 的所有零点依次记为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，记数列 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $2 S_{n} - (x_{1} + x_{n}) =$ .

查看试题解析
25. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移1个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (1) + g (2) + g (3) + \dots + g (2019) =$ .

查看试题解析

三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若锐角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
27. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} (x \in R)$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的单调性；

查看试题解析
28. 设函数 $f (x) = 12 \cos^{2} x - 4 \sqrt{3} \sin x \cos x - 5$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域.

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边长分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ .若 $f (A) = - 5$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

查看试题解析
29. 设函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{4})$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上的最值．

查看试题解析
30. 设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) + sin (2 x + \frac{π}{3}),$ $x \in R$ .
(I)求 $f (x)$ 的最小正周期；

(II)若 $α \in (\frac{π}{6}, π)$ 且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

查看试题解析
31. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \sin^{2} x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， M为BC边上一点， $B M = 3 M C$ ，若 $f (A) = 1$ ， $b = 2,$ $c = 3$ ，求AM.

查看试题解析
32. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + s i n (2 x - \frac{π}{3}) + 2 c o s^{2} x ， x \in R$ ．

(1)、求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数f（x）在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

查看试题解析
33. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\sin x, \cos x), \overset{⇀}{b} = (\sqrt{3} \cos x, c o s x)$ $, f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ .

(1)、求函数 $f (x) = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b}$ 的最小正周期；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $B C = \sqrt{7}, \sin B = 3 \sin C$ ，若 $f (A) = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

查看试题解析
34. 已知函数 $f (x) = sin (m x - \frac{π}{3}) (0 < m < 4)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间；

(3)、若 $tan α = - 2$ ，求 $f (α)$ ．

查看试题解析
35. 已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + \sqrt{3} sin x sin (x + \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{2}{3} π]$ 上的取值范围.

查看试题解析