【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：三角函数的周期性1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = 2$ ，一个周期为4，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $s i n (\frac{π}{2} x)$ B、 $c o s (\frac{π}{2} x)$ C、 $s i n (\frac{π}{4} x)$ D、 $c o s (\frac{π}{4} x)$

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2. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 设函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[- π，π]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A、 $\frac{10 π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；③把函数 $y = \sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 已知函数 $f (x) = 3 t a n (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) + c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 的图象一条对称轴为 $\frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象

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7. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的 $⊙ O$ 上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为 $2 r a d / s$ ，起点为 $⊙ O$ 与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为 $5 r a d / s$ ，起点为射线 $y = - \sqrt{3} x (x \geq 0)$ 与 $⊙ O$ 的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）

A、 $(c o s \frac{2 π}{9} ， s i n \frac{2 π}{9})$ B、 $(- c o s \frac{5 π}{9} ， - s i n \frac{5 π}{9})$ C、 $(c o s \frac{π}{9} ， - s i n \frac{π}{9})$ D、 $(- c o s \frac{π}{9} ， s i n \frac{π}{9})$

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8. 下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）

A、 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x c o s x$ B、 $f (x) = \frac{1 - c o s 2 x}{2 s i n x c o s x}$ C、 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{3}) + c o s (x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) c o s (x + \frac{π}{6})$

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9. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | - 2 s i n 2 x$ ，以下结论错误的是（）

A、π是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 单调递减 C、 $f (x - \frac{3 π}{4})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 恰有两个零点

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10. 下列函数中最小正周期不是 $π$ 的周期函数为（）

A、 $y = s i n | x |$ B、 $y = | s i n x |$ C、 $y = c o s | x |$ D、 $y = | t a n x |$

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11. 将函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的值可能为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、4

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12. “ $ω = 2$ ”是“函数 $y = 2 c o s (ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为 $π$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. 已知将函数 $f (x) = A \sin (ω x + \frac{π}{4}) (A ， ω \in R)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x) = \frac{1}{2} \cos x$ 的图象，则 $A + ω$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14. 已知函数 $f (x) = | s i n x | c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $4 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称

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二、填空题

15. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的非负零点按照从小到大的顺序分别记为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots$ ， $x_{n} ， \dots$ ．，若 $x_{3} - x_{2} = \frac{π}{2}$ ，则 $x_{n}$ 的值可以是．（写出符合条件的一个值即可）

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16. 函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ 的最小正周期为．

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17. 设函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $| f (\frac{π}{3}) | = A$ ，则 $| φ |$ 的最小值为．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n a x \cdot c o s a x (a > 0)$ 的两个相邻零点之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，则 $a =$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，若对任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ ，总存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{2 π}{3}]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，则 $ω$ 的最小值为，当 $ω$ 取得最小值时， $f (2 x + \frac{π}{3}) \geq f (x)$ 对 $x \in [m ， n]$ 恒成立，则 $n - m$ 的最大值为.

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20. 将函数 $y = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图像分别向左､向右各平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则 $ω$ 的最小值为.

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21. 定义运算“★”： $a ★ b = \sin a \cdot \sin b$ ．设函数 $f (x) = [(2 x) ★ (\frac{π}{6})] + [(2 x + \frac{π}{2}) ★ (\frac{π}{3})]$ ，给出下列四个结论：① $π$ 是 $f (x)$ 的最小正周期；② $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有2个零点；③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上是单调递增函数；④ $f (x)$ 的图象可以由 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是．

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22. 函数 $y = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ 的最小正周期是.

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23. 函数 $y = | \begin{array}{l} s i n x & 1 \\ 0 & c o s x \end{array} |$ 的最小正周期为.

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24. 已知定义在 $R$ 上函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）振幅为2，满足 $x_{2} - x_{1} = 2$ ，且 $f (x_{2}) = f (x_{1}) = \sqrt{3}$ ．则 $(0 ， 102)$ 上 $f (x)$ 零点个数最少为．

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ， x \in R$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期.

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26. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + c o s^{2} ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ .

(1)、若 $ω = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $y = f (x)$ 图象在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 内有且仅有一条对称轴，求 $f (\frac{π}{8})$ 的取值范围.

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27. 已知函数 $f (x) = 2 m x - m x c o s x - s i n x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(π ， f (π))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，求实数m的取值范围．

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28. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} c o s (2 x - \frac{π}{3}) - 2 s i n x c o s x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[m ， 0]$ 上的最小值为 $- 1$ ，求 $m$ 的最大值．

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29. 设函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) f (x + \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值.

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30. 已知 $f (x) = \sqrt{3} c o s 2 x + 2 s i n (\frac{3 π}{2} + x) s i n (π - x)$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值．

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31. 设函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3}) + \sin^{2} x$ .

(1)、求函数f(x)的最大值和最小正周期；

(2)、设A，B，C为 $△ A B C$ 的三个内角， $f (\frac{C}{2}) = - \frac{1}{4}$ ，且C为锐角， $S_{△ A B C} = 5 \sqrt{3}$ ，a=4，求c边的长.

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32. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cos (ω x + \frac{π}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} (0 < ω < 3)$ 在 $x = \frac{π}{12}$ 处取得最大值.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $f (A) = \frac{1}{2}$ ， $b \cos C + \frac{c}{2} = a$ ， $c = 2$ ，求 $a$ .

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33. 向量 $\vec{m} = (2 \sin x ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (\cos x ， \cos 2 x)$ ，已知函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，其中 $a = 7$ ，若锐角 $A$ 满足 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ，且 $\sin B + \sin C = \frac{13 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $b + c$ 的值．

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34. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， 1) ， \vec{n} = (\sqrt{3} c o s x ， - \frac{1}{2})$ ．令函数 $f (x) = (\vec{m} + \vec{n}) \cdot \vec{m}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $∠ A C B$ 的角平分线交 $A B$ 于D．其中，函数 $f (C)$ 恰好为函数 $f (x)$ 的最大值，且此时 $C D = f (C)$ ，求 $3 a + b$ 的最小值．

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35. 已知函数 $f (x) = m \sin (ω x + \frac{π}{6}) (m > 0 ， ω > 0)$ 只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数 $f (x)$ 的最大值为2；②函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图像平移得到；③函数 $f (x)$ 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 $π$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、请写出这两个条件的序号，并求出 $f (x)$ 的解析式；

(2)、锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对的边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ . $A = \frac{π}{3}$ ， $a = f (A)$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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