【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：五点法画三角函数的图象

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ ， $(0 ， \sqrt{3})$ ， $(\frac{π}{3} ， 0)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上仅有1个极值点，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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2. 某同学用“五点法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0)$ 在一个周期内的简图时，列表如下：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{12}$
$2 π$
x
$\frac{π}{12}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{5 π}{12}$
$\frac{7 π}{12}$
$\frac{3 π}{4}$
y
0
2
0
-2
0
则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{12})$ B、 $f (x) = 2 s i n (3 x + \frac{π}{12})$ C、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{12})$ D、 $f (x) = 2 s i n (3 x - \frac{π}{4})$

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3. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{5})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有5个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有4个零点 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{43}{10} ， \frac{53}{10})$ D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{20})$ 上单调递增

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4. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的一个单调递增区间为（）

A、 $[- \frac{5 π}{3} ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{8}]$ D、 $[\frac{3 π}{8} ， \frac{π}{2}]$

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5. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为 $| y | = (2 - \frac{1}{2} [\frac{2 x}{π}]) | sin ω x | (0 \leq x \leq 2 π)$ 其中记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数），且过点 $P (\frac{π}{4} ， 2)$ ，若葫芦曲线上一点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\frac{5 π}{3}$ ，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，下列哪个点不是关键点（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， 1)$ C、(π，0) D、(2π，0)

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7. 小明用“五点法”画函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据，如下表：
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$2 π$
x
$\frac{π}{12}$
$\frac{7 π}{12}$
$y = A s i n (ω x + φ)$
0
2
0
$- 2$
0
请你根据已有信息推算A， $ω ， φ$ 的值依次为（）

A、2，2， $- \frac{π}{3}$ B、2，2， $\frac{π}{6}$ C、2， $π$ ， $- \frac{π}{6}$ D、2，2， $\frac{π}{3}$

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8. 设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $A + ω + φ =$ （）

A、 $4 + \frac{π}{6}$ B、 $3 - \frac{π}{6}$ C、 $3 + \frac{π}{6}$ D、 $4 - \frac{π}{6}$

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9. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， 0) ， k \in z$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] ， k \in z$ D、直线 $x = - \frac{2}{3} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，记关于 $x$ 的方程 $f (x) =$ $t (- 2 < t < - 1)$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{6}]$ 上所有解的和为 $θ$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\tan 2 t$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ 的图象与 $x$ 轴相邻交点的横坐标相差 $\frac{π}{2}$ ，把函数 $f (x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象.关于函数 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 B、其图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 是奇函数 D、当 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2}{3} π]$ 时，函数 $g (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 1]$

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12. 用五点法作函数

y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

的图象时，得到如下表格：

$x$	$\frac{π}{6}$		$\frac{2 π}{3}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$y$	0	4	0	-4	0

则 $A$ ， $ω$ ， $φ$ 的值分别为（）

A、4，2，

- \frac{π}{3}

B、4，

\frac{1}{2}

，

\frac{π}{3}

C、4，2，

\frac{π}{6}

D、4，

\frac{1}{2}

，

- \frac{π}{6}

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13. 已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{4}$ 的定义域为 $[m ， n] (m < n)$ ，值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}]$ ，则 $n - m$ 的值不可能是（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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14. 用“五点法”作 $y = 2 \sin x$ 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（）

A、 $0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π, 2 π$ B、 $0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3}{4} π, π$ C、 $0, π, 2 π, 3 π, 4 π$ D、 $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}$

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15. 将函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 已知a是实数，则函数 $f (x) = 1 + a sin a x$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2}$ ）的图象如图所示，为了得到 $g (x) = cos 2 x$ 的图象，则只要将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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18. 已知函数f(x)=|sin(2x- $\frac{π}{6}$ |,则下列说法中正确的是（）

A、函数f(x)的周期是 $\frac{π}{4}$ B、函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x= $\frac{π}{3}$ C、函数f(x）在区间[ $\frac{2 π}{3}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ]为减函数 D、函数f(x)是偶函数

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19. 下列说法正确的是（）

A、函数的图像关于对称 . B、将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍后得到 . C、命题都是假命题，则命题“ ”为真命题. D、，函数都不是偶函数.

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20. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的图像如图所示。若方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有两个不同的实数解 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{4}{3} π$

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21. 如图是函数 $y = 2 sin (ω x + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})$ 的图象，那么（）

A、 $ω = \frac{10}{11} ， ϕ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{10}{11} ， ϕ = - \frac{π}{6}$ C、 $ω = 2 ， ϕ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2 ， ϕ = - \frac{π}{6}$

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22. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， ϕ \in [- \frac{π}{2} ， 0])$ 的周期为 $π$ ，将函数 $f (x)$ 的图象沿着 $y$ 轴向上平移一个单位得到函数 $g (x)$ 图象，对任意的 $x \in (- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{12})$ 时 $g (x) < 1$ 恒成立，当 $ϕ$ 取得最小值时， $g (\frac{π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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23. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则该函数的图象可由函数 $y = sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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24. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = A cos ω x$ 的图象

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25. 函数 $y = \frac{1}{1 - x}$ 的图象与函数 $y = 2 sin π x (- 4 \leq x \leq 6)$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A、18 B、14 C、16 D、12

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26. 某同学用“五点法”画函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在一个周期内简图时，列表如下：
ωx+φ
0
$\frac{π}{2}$
π
$\frac{3 π}{2}$
2π
x
$\frac{π}{12}$
$\frac{π}{4}$
$\frac{5 π}{12}$
$\frac{7 π}{12}$
$\frac{3 π}{4}$
y
0
2
0
﹣2
0
则有（）

A、A=0，ω= $\frac{π}{12}$ ，φ=0 B、A=2，ω=3，φ= $\frac{π}{12}$ C、A=2，ω=3，φ=﹣ $\frac{π}{4}$ D、A=1，ω=2，φ=﹣ $\frac{π}{12}$

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27. 下列命题正确的是（）

A、y=sinx的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得y=cosx的图象 B、y=cosx的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得y=sinx的图象 C、当φ＞0时，y=sinx的图象向右平移φ个单位可得y=sin（x+φ）的图象 D、当φ＜0时，y=sinx的图象向左平移φ个单位可得y=sin（x﹣φ）的图象

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28. 将函数y=sinx的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到的函数解析式为（）

A、y=sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ） B、y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ） C、y=sin（ $\frac{x}{2}$ + $\frac{π}{6}$ ） D、y=sin（ $\frac{x}{2}$ + $\frac{π}{12}$ ）

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29. 用“五点法”画y=sin x，x∈[﹣2π，0]的简图时，正确的五个点应为（）

A、（0，0），（ $\frac{π}{2} ， 1$ ），（π，0），（ $\frac{3 π}{2}$ ，﹣1），（2π，0） B、（0，0），（﹣ $\frac{π}{2}$ ，﹣1），（﹣π，0），（﹣ $\frac{3 π}{2}$ ，1），（﹣2π，0） C、（0，1），（ $\frac{π}{2}$ ，0），（π，1），（ $\frac{3 π}{2}$ ，0），（2π，﹣1） D、（0，﹣1），（﹣ $\frac{π}{2}$ ，0），（﹣π，1），（﹣ $\frac{3 π}{2}$ ，0），（﹣2π，﹣1）

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30. 设k∈R，则函数f（x）=sin（kx+ $\frac{π}{6}$ ）+k的部分图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、解答题

31. 已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ $\frac{π}{4}$ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{π}{2}$ 单位长度后得到函数g（x）的图象．

(1)、求函数f（x）与g（x）的解析式

(2)、是否存在x₀∈（ $\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}$ ），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数，若不存在，说明理由；

(3)、求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

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ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{7 π}{12}$	$\frac{3 π}{4}$
y	0	2	0	﹣2	0