【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：正切函数的图象与性质

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）

A、a＞b＞c B、b＞c＞a C、c＞b＞a D、c＞a＞b

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2. 设 $a = l n \frac{13}{5}$ ， $b = \frac{26}{27}$ ， $c = t a n \frac{4}{5}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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3. 若 $\frac{s i n θ \cdot c o s 2 θ}{s i n θ + c o s θ} = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (\frac{k π}{2} + θ) (k \in Z)$ 的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、3

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4. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $y \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s x + s i n x}{c o s x - s i n x} = \frac{1 - c o s 2 y}{s i n 2 y}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $t a n (y - x) = 1$ B、 $t a n (y - x) = - 1$ C、 $t a n (y + x) = 1$ D、 $t a n (y + x) = - 1$

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5. 非直角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“ $a > b$ ”是“ $t a n A > t a n B$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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6. 在 $△ A B C$ 中，满足 $A > 2 B$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $c o s A < 2 c o s B$ B、 $s i n A > 2 s i n B$ C、 $s i n A > s i n 2 B$ D、 $t a n A > 2 t a n B$

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7. 已知函数 $f (x) = A t a n (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度后与原图象重合，则实数 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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8. 函数 $f (x) = 4 t a n (π - x) - \frac{1}{c o s^{2} x}$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 已知 $α + β = \frac{π}{4} (α > 0 ， β > 0)$ ，则 $t a n α + t a n β$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $- 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 + 2 \sqrt{2}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (2 + x)$ ，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x)$ 单调递增，则（）

A、 $f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (2021) < f (\log_{3} \frac{1}{2})$ B、 $f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (2021)$ C、 $f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (2021) < f (\tan \frac{7 π}{24})$ D、 $f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (2021)$

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11. 已知函数 $f (x) = \tan x - \sin x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的图象不关于 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(π ， 0)$ 对称

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二、填空题

12. 将函数 $f (x) = t a n 2 x$ 的图像向左平移 $t$ （ $t > 0$ ）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若 $g (\frac{π}{2}) = 1$ ，则 $t$ 的最小值是．

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13. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x + 2 t a n (π - x) - 1$ ．若 $t a n α = 2$ ，则 $f (α) =$ ；若 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，则 $f (x)$ 零点的个数为．

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14. 已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，现有下列四个判断：
甲： $a > b$ ；乙： $\sin A > \cos B$ ；丙： $\tan (A - B) > 0$ ；丁： $\cos A < \cos B$ ．

若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是．

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15. 满足等式 $(1 - \tan α) (1 - \tan β) = 2$ 的数组 $(α ， β)$ 有无穷多个，试写出一个这样的数组.

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16. 已知函数 $y = t a n (2 a x - \frac{π}{6}) (a \neq 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则a的值为．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 t a n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6}) - 1$ ，则 $f (x)$ 的对称中心为.

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18. 给出下列命题：
①函数 $y = \sin | x |$ 不是周期函数；

②函数 $y = \tan x$ 在定义域内为增函数；

③函数 $y = | \cos 2 x + \frac{1}{2} |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；

④函数 $y = 4 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ .

其中正确命题的序号是.

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19. 若函数 $f (x) = t a n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω$ 的值为.

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20. 函数 $f (x) = t a n (π x - \frac{π}{4})$ 的定义域为．

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{4})$ 在区间 $[0 ， \frac{3 π}{2}]$ 上恰有3个零点，其中 $ω$ 为正整数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $F (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ 的单调区间.

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22. 定义在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (x - k) s i n x$ .

(1)、当 $k = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、将 $f (x)$ 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $k$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = \tan (x + \frac{π}{8})$ .

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{2} f (β) = 2$ ，求 $\tan (α + β)$ ；

(2)、当 $- \frac{3 π}{8} < x < \frac{5 π}{24}$ 时，讨论函数 $g (x) = f^{2} (x) - (m + 1) f (x) + m$ 的零点个数.

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24. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)．若以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ .

(1)、求出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = θ_{1}$ （不包括端点）与曲线 $C$ 和直线 $l$ 分别交于 $A ， B$ 两点，当 $θ_{1} \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 时，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的取值范围.

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25. 如图，墙上有一壁画，最高点 $A$ 离地面4米，最低点 $B$ 离地面2米，观察者从距离墙 $x (x > 1)$ 米，离地面高 $a (1 \leq a \leq 2)$ 米的 $C$ 处观赏该壁画，设观赏视角 $∠ A C B = θ .$

(1)、若 $a = 1.5 ，$ 问：观察者离墙多远时，视角 $θ$ 最大？

(2)、若 $\tan θ = \frac{1}{2} ，$ 当 $a$ 变化时，求x的取值范围.

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26. 已知函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ ．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β∈（0，π），且 $f (β) = 2 c o s (β - \frac{π}{4})$ ，求β的值．

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27. 已知函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ ．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设β是锐角，且 $f (β) = 2 s i n (β + \frac{π}{4})$ ，求β的值．

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28. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角为 $α$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $β$ ，试判断 $α$ ， $β$ 的大小关系，并予以证明.

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29. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x t a n θ - 1 ， x \in [- 1 ， \sqrt{3}]$ ，其中 $θ \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $θ = - \frac{π}{6}$ 时，求函数的最大值和最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， \sqrt{3}]$ 上是单调函数，求 $θ$ 的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = t a n (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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