【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：余弦函数的图象与性质2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数f（x）=cos（x+ $\frac{π}{3}$ ），则下列结论错误的是（）

A、f（x）的一个周期为﹣2π B、y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{8 π}{3}$ 对称 C、f（x+π）的一个零点为x= $\frac{π}{6}$ D、f（x）在（ $\frac{π}{2}$ ，π）单调递减

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2. 已知平面非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3. 下列函数中是奇函数，且最小正周期是 $π$ 的函数是（）

A、 $y = c o s | 2 x |$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ D、 $y = c o s (2 x - \frac{3 π}{2})$

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4. 若函数 $y = c o s (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在区间 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 上恰有唯一极值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3} ， \frac{7}{6}]$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{6}]$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{7}{3}]$ D、 $(\frac{2}{3} ， \frac{7}{3})$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x + c o s x ， c o s x \geq 0 \\ s i n x - c o s x ， c o s x < 0 \end{array}$ ，则以下结论：① $f (x)$ 的周期为 $2 π$ ；② $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称；③ $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{2}$ ；④ $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调，其中正确的个数为（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知 $△ A B C$ 中，“ $s i n A > s i n B$ ”是“ $c o s A < c o s B$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ，若对任意的 $φ \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ ， $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有4个零点，则下列 $ω$ 的值中不满足条件的是（）

A、 $ω = \frac{13}{6}$ B、 $ω = \frac{11}{6}$ C、 $ω = \frac{5}{4}$ D、 $ω = \frac{3}{4}$

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8. 函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 有且仅有3个最大值点，则下列说法错误的个数是（）
①函数 $| f (x) |$ 的最小正周期为2：②点 $(- \frac{9}{4} ， 0)$ 为 $f (x)$ 的一个对称中心；③函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{3}{2}$ 个单位后得到 $y = A s i n (ω x + φ)$ 的图象：④函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3}{25} m ， 0]$ 上是增函数.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 函数 $y = 2 c o s^{2} x - 1$ 是（）

A、最小正周期为π的奇函数 B、最小正周期为π的偶函数 C、最小正周期为2π的奇函数 D、最小正周期为2π的偶函数

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{π}{3})$ B、满足 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围为 $(k π ， k π + \frac{π}{3})$ （ $k \in Z$ ） C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象的一条对称轴 $x = \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = - 2 c o s 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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11. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{7 π}{4} ， 2 π]$ 上的最小值为-2

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二、填空题

12. 已知函数 $f (x) ＝ 2 cos (ω x ＋ φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{2})$ ＝．

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13. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ωx + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $（ f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数x为。

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14. 函数 $f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， π)$ 的零点个数为．

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15. 设函数f(x)= $\cos (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ 对任意的实数x都成立，则 $ω$ 的最小值为

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16. 设函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）满足以下条件：① $\forall x \in R$ ，满足 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12})$ ；② $\exists x_{0}$ ，使得 $f (\frac{π}{3}) = f (x_{0}) = 0$ ；③ ${| x_{0} - \frac{π}{3} |}_{m i n} > \frac{π}{6}$ ，则 $f (x) =$ .关于x的不等式 $[f (x) - f (- \frac{31 π}{4})] [f (x) - f (\frac{31 π}{3})] > 0$ 的最小正整数解为.

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17. 将函数 $f (x) = 2 c o s x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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18. 关于函数 $f (x) = s i n x$ 与 $g (x) = c o s x$ 有下面四个结论：
①函数 $f (x)$ 的图像可由 $g (x)$ 的图像平移得到
②函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上均单调递减
③若直线 $x = t$ 与这两个函数的图象分别交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | \leq 1$
④函数 $f (x) - g (x)$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称；
其中正确结论的序号为（请写出所有正确结论的序号）.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s (x + θ) ， x \geq 0 ， \\ s i n x ， x < 0 \end{array}$ 是偶函数，则 $θ$ 的一个取值为.

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20. 函数 $y = c o s^{2} x - 4 c o s x + 1 ， x \in R$ ，当y取最大值时，x的取值集合是．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin ω x ， g (x) = \sqrt{2} \cos ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $A ， B ， C$ 是这两个函数图象的交点，且不共线.①当 $ω = 1$ 时， $Δ A B C$ 面积的最小值为；②若存在 $Δ A B C$ 是等腰直角三角形，则 $ω$ 的最小值为.

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22. 若函数 $f (x) = cos x + \frac{1}{cos x} - m$ 有零点，则 $m$ 的取值范围是.

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23. 请写出一个函数 $f (x) =$ ，使之同时具有如下性质：① $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (4 - x)$ ，② $\forall x \in R$ ， $f (x + 4) = f (x)$ .

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24. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在 $(0 ， π)$ 内有且只有两条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是.

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25. 若 $α + β = \frac{π}{3}$ ，则 $\cos α + \cos β$ 的最小值为.

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - s i n (\frac{π}{2} + x)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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27. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) + c o s 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的周期是 $π$ ，求 $ω$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[\frac{3}{2} ， 2]$ ，求 $ω$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} c o s (2 x - \frac{π}{4})$ ， $x ∈ R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

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29. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式和最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的最值；

(3)、写出函数 $y = f (x - \frac{π}{12}) + 2 \sqrt{3} s i n 2 x$ 的对称轴方程和对称中心．

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30. 设函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{4}) ， x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{8} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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31. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ)$ （ $A ＞ 0$ ， $ω ＞ 0$ ， $0 ＜ ϕ ＜ \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示， $M ， N ， P$ 为该图象上三个点，其中 $M ， N$ 为相邻的最高点与最低点， $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ ．且 $| O M | = \frac{\sqrt{17}}{2}$ ， $| M N | = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位后得到 $g (x)$ 的图象，分析 $F (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $[\frac{1}{4} ， \frac{5}{3}]$ 的单调性及最值．

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32. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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33. 设复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = c o s θ + i s i n θ$ ，其中 $θ \in [0 ， π]$ .

(1)、若复数 $z = \bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ 为实数，求 $θ$ 的值；

(2)、求 $| z_{1} + z_{2} |$ 的取值范围．

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34. 已如函数 $f (x) = c o s^{4} \frac{x}{2} + 2 s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) c o s (\frac{x}{2} + \frac{π}{2}) - s i n^{4} \frac{x}{2} ， x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的单调递减区间．

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35. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{17 π}{24} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域．

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