【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：余弦函数的图象与性质1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递增

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4. 已知 $α, β, γ$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin α \cos β, \sin β \cos γ, \sin γ \cos α$ 三个值中，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < - \frac{π}{6})$ ，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为 $π ， f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{8}]$ 上是单调函数，则下列说法不正确的是（）

A、 $φ$ 的最大值为 $- \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图像与直线 $y = 1$ 没有交点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上没有对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{4}]$ 上有一个零点

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6. 已知复数 $z = \sqrt{3} c o s θ + i s i n θ$ （ $θ \in R$ ， i为虚数单位），则 $| z |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - \frac{π}{3}) + 1$ ，（ $ω > 0$ ）的图象在区间 $(0 ， 2 π)$ 内至多存在3条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{5}{3}]$ B、 $(\frac{2}{3} ， \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{5}{3} ， \frac{7}{6})$ D、 $[\frac{5}{3} ， + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = 2 c o s ω x (c o s ω x - s i n ω x) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (- \frac{π}{24}) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{2}]$ 内有5个零点 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$

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9. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0]$ 上（）

A、单调递增 B、单调递减 C、先增后减 D、先减后增

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10. 函数 $f (x) = c o s (x + \frac{3 π}{2}) + c o s x$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 2 ， B C > \sqrt{2}$ ，则 $c o s A$ 的范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{5}{6})$ B、 $(- 1 ， \frac{11}{12})$ C、 $(\frac{5}{6} ， 1)$ D、 $(\frac{11}{12} ， 1)$

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12. 已知奇函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图像的相邻两个对称中心间的距离为2π，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的图像（）

A、关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(- \frac{5 π}{3} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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13. 若函数 $f (x) = 4 c o s (2 x + φ) - 2 \sqrt{2} (0 ≤ φ ≤ π)$ 在 $[0 ， \frac{11 π}{6}]$ 内恰有4个零点，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{7 π}{12} ， π]$ D、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{7 π}{12} ， π]$

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14. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，可以得到 $g (x) = c o s 2 x$ 的图象

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15. 将函数 $y = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{π}{2} ， k π] (k \in Z)$

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二、填空题

16. 记函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{π}{9}$ 为 $f (x)$ 的零点，则 $ω$ 的最小值为．

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17. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 单调，则 $ω$ 的一个取值是.

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18. 函数 $y = 4 c o s 2 x + 3$ 的最小正周期为．

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19. $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{2}) + c o s x$ 在 $[0 ， π]$ 的零点为.

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20. 若函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 的值域为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，则ω的取值范围是

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21. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{b} | \cdot | \vec{c} | = 1$ ，若 $| 3 \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c}) | = | \vec{a} \cdot \vec{b} | \cdot | \vec{c} |$ ，则 $- {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2} + {\vec{c}}^{2}$ 的最小值是．

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22. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x$ 向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ ．若对于任意的 $x_{1} \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ ，总存在 $x_{2} \in [m ， n]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| m - n |$ 的最小值为．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条 $[f (x) - f (- \frac{7 π}{4})] [f (x) - f (\frac{4 π}{3})] < 0$ 的最大负整数x为．

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24. 函数 $y = 1 - 2 c o s^{2} (2 x)$ 的最小正周期是.

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25. 若函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 在区间 $(2 π ， 3 π)$ 内既没有最大值 $1$ ，也没有最小值-1，则 $ω$ 的取值范围是.

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三、解答题

26. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} t a n A t a n C = t a n A + t a n C + \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A + c o s C$ 的取值范围.

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27. 如图所示， $A - B C P$ 是圆锥的一部分，O是底面圆的圆心， $∠ B O C = \frac{2 π}{3}$ ，P是弧BC上一动点（不与B，C重合），满足 $∠ C O P = θ$ .M是AB的中点， $O A = 2 O B = 2$ .

(1)、若 $M P ∥$ 平面 $A O C$ ，求 $\sin θ$ 的值；

(2)、若四棱锥 $M - O C P B$ 的体积大于 $\frac{1}{4}$ ，求三棱锥 $A - M P C$ 体积的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x} - \ln x$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点；

(2)、若 $x \in (0 ， 2 π)$ 时，不等式 $f (x) + \ln x + \frac{\sin 2 x}{2 x} \leq \frac{a}{x}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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29. 已知向量 $\vec{a} = (\sin (ω x + φ) ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， \cos (ω x + φ))$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{4}$ ）.函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ ， $y = f (x)$ 的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点 $M (1 ， \frac{7}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 图像的对称点坐标；

(2)、求 $f (0) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2014)$ 的值.

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30. 设函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - \cos (2 x - \frac{π}{3})$

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (B + C) = \frac{3}{2}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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31. 已知函数 $f (x) = - 10 \sqrt{3} \sin x \cos x + 10 \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，求使得 $g (x) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围.

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32. 已知偶函数f(x)=Asin(ωx+ $φ$ )(A>0，ω>0，0< $φ$ <π)的最大值为3，其图象与直线y=-3的某两个交点的横坐标为x₁ ， x₂ ，且|x₁-x₂|的最小值为π．
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式，并写出f(x)单调递减区间；

（Ⅱ）设函数s(x)=f(x- $\frac{π}{8}$ ），求g(x）在区间[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ ]上的值域。

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33. 已知函数f（x）=sin²x-cos²x，x∈R.

(1)、求函数y=f（x）的最小正周期和最大值；

(2)、判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；

(3)、求函数y=f（x）的递增区间.

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34. 已知曲线 $f (x) = \frac{m x - m}{e^{x}}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{e}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $x \in (0 ， π)$ 时，求证： $f (x) + \frac{1}{e^{2}} > x cos x - sin x$ .

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35. 设函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{2 π}{3}) + 2 {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值，并写出使 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的集合；

(2)、已知 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (A) = \frac{3}{2}$ ， $b + c = 2$ ，求 $a$ 的最小值.

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