【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：正弦函数的图象与性质3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $α ， β ， γ$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin α \cos β ， \sin β \cos γ ， \sin γ \cos α$ 三个值中，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 函数f（x）=sin $\frac{x}{3}$ +cos $\frac{x}{3}$ 的最小正周期和最大值分别是（）

A、3 $π$ 和 $\sqrt{2}$ B、3 $π$ 和2 C、 $6 π$ 和 $\sqrt{2}$ D、 $6 π$ 和2

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3. 下列区间中，函数f(x)=7sin( $x - \frac{π}{6}$ )单调递增的区间是（）

A、(0， $\frac{π}{2}$ ) B、( $\frac{π}{2}$ ， $π$ ) C、( $π$ ， $\frac{3 π}{2}$ ) D、( $\frac{3 π}{2}$ ， $2 π$ )

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4. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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5. 已知点 $P$ 为平面直角坐标系 $x O y$ 内的圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点，定点 $A (- 3 ， 2)$ ，现将坐标平面沿 $y$ 轴折成 $\frac{2 π}{3}$ 的二面角，使点 $A$ 翻折至 $A^{'}$ ，则 $A^{'} ， P$ 两点间距离的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{13} ， 3 \sqrt{5}]$ B、 $[4 - \sqrt{13} ， 7]$ C、 $[4 - \sqrt{13} ， 3 \sqrt{5}]$ D、 $[\sqrt{13} ， 7]$

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6. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (\frac{π}{3}) - f (\frac{5 π}{6}) = 2$ ，当ω取最小的可能值时， $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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7. 对于函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x + s i n^{2} x - \frac{1}{2}$ ，给出下列结论：
（1）函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称；
（2）函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ ；
（3）将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = - c o s 2 x$ 的图像；
（4）曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（）

A、（1）（2） B、（2）（3） C、（2）（4） D、（1）（3）

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8. 在下列区间中，函数 $f (x) = 2 s i n (x + \frac{π}{3})$ 在其中单调递减的区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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9. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} ω x + s i n ω x c o s ω x - 1 (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上恰有4个不同的零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{2} ， 3]$ B、 $(2 ， \frac{7}{2})$ C、 $(\frac{7}{2} ， \frac{9}{2}]$ D、 $(3 ， \frac{9}{2}]$

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10. 已知 $f (x) = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0)$ 满足 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{5}{3} π) = 0$ 且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{18}{17}$ C、 $\frac{6}{17}$ D、 $\frac{30}{17}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ .给出下列结论：① $f (- \frac{π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值；②函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增；③将函数 $y = 2 s i n x$ 的图象上的所有点向左平移 $\frac{11 π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象.其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n^{2} ω x + 2 s i n ω x c o s ω x - \sqrt{3} c o s^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，给出下列4个结论：
① $f (x)$ 的最小值是 $- 3$ ；
②若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12})$ 上单调递增；
③将 $y = s i n x$ 的函数图象横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $ω = 2$ ；
④若存在互不相同的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0 ， π]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) = 3$ ，则 $ω \geq \frac{29}{12}$
其中所有正确结论的序号是（）

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②

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13. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 $t (s)$ 时刻相对于平衡位置的高度 $h (c m)$ 可以田 $h = 2 s i n (\frac{π}{2} t + \frac{π}{4})$ 确定，则下列说法正确的是（）

A、小球运动的最高点与最低点的距离为 $2 c m$ B、小球经过 $4 s$ 往复运动一次 C、 $t \in (3 ， 5)$ 时小球是自下往上运动 D、当 $t = 6.5$ 时，小球到达最低点

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14. 若函数 $f (x) = a s i n x + 1$ 的最大值为4，则函数 $g (x) = c o s (a x + 1)$ 的最小正周期为（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 内单调且有一个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) ＝ 1 + 2 sin ω x (ω > 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 上为增函数，则 $ω$ 的取值范围为.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，且直线 $y = - 2$ 与函数 $f (x)$ 的图象在 $[- 2 π ， 0]$ 上有且仅有一个交点，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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18. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，其中 $f (0) = f (\frac{5 π}{9})$ ， $f (- \frac{2 π}{9}) = 0$ ，若对于任意的 $x_{1} \in [- \frac{π}{9} ， \frac{π}{6})$ ， $x_{2} \in (\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ ， $f (x_{1}) - λ > c o s 2 x_{2} - s i n 3 x_{1}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为．

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19. $f (x) = \sqrt{3} c o s^{2} x - s i n x c o s x$ 在 $[- m ， m]$ 上单调递减，则实数m的最大值是．

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20. 函数 $f (x) = | 3 s i n (\frac{π}{3} x - \frac{π}{6}) - \frac{3}{4} |$ 的最小正周期为．

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21. 把 $y = s i n x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |$ 对 $\forall x \in R$ 成立．
① $f (x)$ 的一个单调递减区间为 $[\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ ；
② $f (x)$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为 $\frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{12} ， 0) (k \in Z)$ ；
④若关于x的方程 $2 [f (x)]^{2} + n f (x) + 1 = 0$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， \frac{7 π}{12}]$ 上有两个不相等的实根，则n的取值范围为 $[- 3 ， - 2 \sqrt{2})$ ．
其中，判断正确的序号是．

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22. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x$ （ $ω > 0$ ）在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的一个取值为．

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23. 设函数 $y = s i n \frac{π x}{3}$ 在 $[t ， t + 1]$ 上的最大值为 $M (t)$ ，最小值为 $N (t)$ ，则 $M (t) - N (t)$ 在 $\frac{3}{2} \leq t \leq \frac{7}{2}$ 上最大值为．

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24. 已知直线 $x = \frac{π}{3}$ 和 $x = \frac{5 π}{6}$ 是曲线 $y = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个 $φ$ 的值是.

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三、解答题

25. 若向量 $\vec{a} = (\sin x ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - \cos x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + t$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $t$ 的值及函数的对称中心；

(2)、若不等式 $m^{2} - \frac{1}{2} m \leq f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{11 π}{24}]$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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26. 设函数 $f (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{2})]}^{2}$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) f (x - \frac{π}{4})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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27. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) ， (ω > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的图像与直线 $y = 2$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，求 $ω$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $ω = 2$ 时，求函数 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{5 π}{12})$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值．

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28. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且 $D (0 ， - 1) ， △ A B C$ 的面积等于 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (α + \frac{π}{6}) = - \frac{4}{3}$ ，且 $α \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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29. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) c o s (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $g (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的取值范围.

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30. 已知 $f (x) = \sin 2 x + \cos (2 x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ ．
（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）求函数 $y = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{4})$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 的取值范围．

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31. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} (x + \frac{π}{3}) + \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 关于点 $(\frac{π}{2} ， 1)$ 中心对称，求 $y = g (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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32. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) + 2 \sqrt{2} c o s 2 x$ ，若 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上的最大值为2，求 $m$ 的最小值．
条件①： $f (x)$ 的最小值为-2；
条件②： $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{2} ， \sqrt{2})$ ；
条件③；直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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33. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n ω x c o s ω x + m (ω > 0 ， m \in R)$ ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数 $f (x)$ 的解析式的两个作为已知．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， t] (t > 0)$ 上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ；
条件③：函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．

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34. 已知函数 $f (x) = s i n (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、设 $g (x) = f (x) \cdot c o s x$ ，求 $g (x)$ 的最小正周期.

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35. 已知函数 $f (x) = c o s x s i n (\frac{π}{2} - x) - \sqrt{3} s i n x s i n (\frac{π}{2} + x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期以及在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象．在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $g (B) = 0 ， a = 4 ， b = \frac{7}{2}$ ，求c的值．

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36. 函数 $f (x) = A s i n (π x + φ) ， x \in R$ （其中 $A > 0 ， 0 \leq φ \leq \frac{π}{2}$ ）部分图象如图所示， $P (\frac{1}{3} ， A)$ 是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值；

(2)、若 $∠ P M N + ∠ P N M = \frac{π}{4}$ ，求A的值．

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